Первая тема «Алгебры-7»-«Выражения и их преобразования» помогает закрепить вычислительные навыки, приобретённые в 5-6 классах, систематизировать и обобщить сведения о преобразованиях выражений и решений уравнений.
Нахождение значений числовых и буквенных выражений даёт возможность повторить с учащимися правила действия с рациональными числами. Умения выполнять арифметические действия с рациональными числами являются опорными для всего курса алгебры.
При рассмотрении преобразований выражений формально – оперативные умения остаются на том же уровне, который был достигнут в 5-6 классах.
Однако здесь учащиеся поднимаются на новую ступень в овладении теорией. Вводятся понятия «тождественно равные выражения», «тождество», «тождественные преобразования выражений», содержание которых будет постоянно раскрываться и углубляться при изучении преобразований различных алгебраических выражений. Подчёркивается, что основу тождественных преобразований составляют свойства действий над числами.
При изучении темы «Многочлены» формируются формально-оперативные умения тождественных преобразований алгебраических выражений. Формулы сокращённого умножения способствуют дальнейшему процессу формирования умений выполнять тождественные преобразования целых выражений, умение применять формулы как для сокращённого умножения, так и для разложения многочленов на множители используется не только в преобразовании целых выражений, но и в действиях с дробями, корнями, степенями с рациональным показателем.
В 8-м классе приобретённые навыки тождественных преобразований отрабатываются на действиях с алгебраическими дробями, квадратным корнем и выражениями, содержащие степени с целым показателем.
В дальнейшем приёмы тождественных преобразований отражаются на выражениях, содержащих степень с рациональным показателем.
Особую группу тождественных преобразований составляют тригонометрические выражения и логарифмические выражения.
К обязательным результатам обучения за курс алгебры в 7-9 классах относятся:
1) тождественные преобразования целых выражений
a) раскрытие скобок и заключение в скобки;
b) приведение подобных членов;
c) сложение, вычитание и умножение многочленов;
d) разложение многочленов на множители при помощи вынесения общего множителя за скобки и формул сокращённого умножения;
e) разложение квадратного трёхчлена на множители.
«Математика в школе» (Б.У.М.) стр.110
2) тождественные преобразования рациональных выражений: сложение, вычитание, умножение и деление дробей, а также применять перечисленные умения при выполнении несложных комбинированных преобразований [стр. 111]
3) учащиеся должны уметь выполнять преобразования несложных выражений, содержащих степени и корни. (стр. 111-112)
Были рассмотрены основные типы задач, умение решать которых позволяют получить ученику положительную оценку.
Одной из самой важных сторон методики изучения тождественных преобразований является развитие учащимся целей выполнения тождественных преобразований.
1) 
- упрощение численного значения выражения
.
2) 
какое из преобразований следует выполнить: (1) 
или (2) 
Разбор этих вариантов является мотивировкой (предпочтительнее (1), т.к. в (2) происходит сужение области определения)
3) Решить уравнение: 
-разложение на множители при решении уравнений.
4) Вычислить: 
Применим формулу сокращённого умножения:
(101-1) (101+1)=100 
102=102000
5) Найти значение выражения:
Для нахождения значения домножим каждую дробь на сопряжённый:
6) Построить график функции: 
Выделим целую часть: 
.
Предупреждение ошибок при выполнении тождественных преобразований может быть получено путём варьирования примеров выполнения их. В этом случае отрабатываются «мелкие» приёмы которые как составные части входят в более объёмный процесс преобразования.
Например:
.
В зависимости от направлений уравнения можно рассмотреть несколько задач: справа налево умножение многочленов; слева направо -разложение на множители. Левая часть кратна одному из сомножителей в правой части и т.д.
Кроме варьирования примеров, можно воспользоваться проведением апологии между тождествами и числовыми равенствами.
Следующий приём – объяснение тождеств.
Для повышения интереса учащихся можно отнести отыскание различных способов решения задач.
Уроки по изучению тождественных преобразований станут интереснее, если их посвятить поиску решения задачи.
Например: 1) сократить дробь:
3) доказать формулу «сложного радикала»
Рассмотрим:
Преобразуем правую часть равенства:
-
сумма сопряжённых выражений. Их можно было бы домножить и разделить на сопряжённый, но такая операция приведет нас к дроби, знаменатель которой есть разность радикалов.
Заметим, что первое слагаемое в первой части тождества есть число большее, чем второе, поэтому можно возвести обе части в квадрат:
0=0, ч.т.д.
Практическое занятие №3.
V курс.