Литература: ”Практикум по МПМ”, стр. 87-93.
Признаком высокой культуры вычислений и тождественных преобразований у учащихся являются прочные знания свойств и алгоритмов операций над точными и приближенными величинами и умелое их применение; рациональные приемы вычислений и преобразований и их проверка; умение обосновать применение приемов и правил вычислений и преобразований, автоматизм навыков безошибочного выполнения вычислительных операций.
С какого класса необходимо начать с учащимися работу по выработке перечисленных навыков?
Линия тождественных преобразований выражений начинается с применения приемов рационального вычисления начинается с применения приемов рационального вычисления значений числовых выражений. (5 класс)
При изучении таких тем школьного курса математики надо уделять им особое внимание!
Сознательному выполнению учащимися тождественных преобразований способствует понимание того факта, что алгебраические выражения существуют не сами по себе, а в неразрывной связи с некоторым числовым множеством, являются обобщенными записями числовых выражений. Аналогии между алгебраическими и числовыми выражениями (и преобразованиями их) законны в логическом отношении, использование их в обучении способствует предупреждению ошибок у учащихся.
Тождественные преобразования не являются какой-либо отдельной темой школьного курса математики, они изучаются на протяжении всего курса алгебры и начал математического анализа.
Программа по математике 1-5 класса представляет собой пропедевтический материал для изучения тождественных преобразований выражений с переменной.
В курсе алгебры 7 кл. вводятся определение тождества и тождественных преобразований.
Опр. Два выражения соответственные значения которых равны при любых значениях переменных, наз. тождественно равными.
Опр. Равенство, верное при любых значениях переменных, называется тождеством.
Ценность тождества состоит в том, что оно позволяет данное выражение заменить другим, тождественно равным ему.
Опр. Замену одного выражения другим, тождественно равным ему выражением называют тождественным преобразованием или просто преобразованием выражения.
Тождественные преобразования выражений с переменными выполняются на основе свойств действий над числами.
Основой тождественных преобразований можно считать равносильные преобразования.
Опр. Два предложения, каждое из которых является логическим следствием другого, наз. равносильными.
Опр. Предложение с переменными А наз. следствием предложения с переменными В, если область истинности В есть подмножество области истинности А.
Можно дать другое определение равносильных предложений: два предложения с переменными равносильны, если их области истинности совпадают.
Пример:
а) В: x-1=0 над R; А: (x-1)2 над R => A~B, т.к. области истинности (решения) совпадают (x=1)
б) А: х=2 над R; В: х2=4 над R => область истинности А: х=2; область истинности В: х=-2, х=2; т.к. область истинности А содержится в В, то: х2=4 следствие предложения х=2.
Основой тождественных преобразований является возможность представление одного и того же числа в разных формах. Например,
и т.д.;
-
такое представление поможет при изучении темы “основные свойства дроби”.
Навыки в выполнении тождественных преобразований начинают формироваться при решении примеров, аналогичных следующему: “Найти числовое значение выражения 2а3+3аb+b2 при а=0,5, b=2/3 ”, которые предлагаются учащимся в 5 классе и позволяют осуществить пропедевтику понятия функция.
Изучая формулы сокращенного умножения следует уделять внимание их глубокому пониманию и прочному усвоению. Для этого можно воспользоваться следующей графической иллюстрацией:
|
(a+b)2=a2+2ab+b2 (a-b)2=a2-2ab+b2 a2-b2=(a-b)(a+b)
Вопрос: Как объяснить учащимся суть приведенных формул по данным чертежам?
Распространенной ошибкой является смешение выражений “квадрат суммы” и “ сумма квадратов”. Указание учителя на то, что эти выражения различаются порядком действия, не кажется существенным, так как учащиеся считают, что эти действия производятся над одними и теми же числами и поэтому от перемены порядка действий результат не изменяется.
Задание: Составьте устные упражнения для выработки у учащихся навыков безошибочного использования названных формул. Как объяснить, чем похожи эти два выражения и чем они друг от друга отличаются?
Большое разнообразие тождественных преобразований затрудняет ориентацию учащихся в том, с какой целью они выполняются. Нечеткое знание цели выполнения преобразований (в каждом конкретном случае) отрицательно сказывается на их осознании, служит источником массовых ошибок учащихся. Это говорит о том, что разъяснение учащимся целей выполнении различных тождественных преобразований является важной составной частью методики их изучения.
Примеры мотивировок тождественных преобразований:
1. упрощение нахождения числового значения выражения;
2. выбор преобразования уравнения, не приводящего к потере корня;
3. при выполнении преобразования можно отметить его область вычислений;
4. использование преобразований при вычислении, например, 992-1=(99-1)(99+1);
Для управления процессом решения учителю важно обладать умением давать точную характеристику сущности допущенной учащимся ошибки. Точная характеристика ошибки является ключом к правильному выбору последующих действий, предпринимаемых учителем.
Примеры ошибок учащихся:
1. выполняя умножение: 
ученик получил -54abx6 (7 кл.);
2. выполняя возведение в степень (3х2)3 ученик получил 3х6 (7 кл.);
3. преобразуя (m+n)2 в многочлен, ученик получил m2+n2 (7 кл.);
4. сокращая дробь 
ученик получил 
(8 кл.);
5. выполняя вычитание: 
, ученик записывает 
(8 кл.)
6. представляя дробь 
в виде дробей, ученик получил: 
(8 кл.);
7. извлекая арифметический корень 
ученик получил х-1 (9кл.);
8. решая уравнение 
(9кл.);
9. преобразовывая выражение 
, ученик получает: 
(9 кл.).
Заключение
Изучение тождественных преобразований проводится в тесной связи с числовыми множествами, изучаемыми в том или ином классе.
На первых порах следует просить учащегося объяснять каждый шаг преобразования, сформировать те правила и законы, которые применяются.
В тождественных преобразованиях алгебраических выражений используются два правила: подстановки и замены равным. Наиболее часто используется подстановка, т.к. на ней основан счёт по формулам, т.е. найти значение выражения a*b при a=5 и b=-3. Очень часто учащиеся пренебрегают скобками при выполнении действия умножения, считая что знак умножения подразумевается. Например, возможна такая запись: 5*-3.
Литература
1. А.И. Азаров, С.А. Барвенов «Функциональный и графический методы решения экзаменационных задач»,Мн..Аверсэв, 2004
2. О.Н. Пирютко «Типичные ошибки на централизованном тестировании», Мн..Аверсэв, 2006
3. А.И. Азаров, С.А. Барвенов «Задачи-ловушки на централизованном тестировании»,Мн..Аверсэв, 2006
4. А.И. Азаров, С.А. Барвенов «Методы решения тригонометрических задач», Мн..Аверсэв, 2005