В то время как арабы строили и расширяли свои цивилизации в западной Европе зарождалась новая цивилизация. В период средневековья в этой части мира был достигнут высокий уровень культуры. В европейской Культуре того времени господствовало христианская религия, а ее доктрины, при всех своих достоинствах, совсем не способствовали познанию физического мира.
Первый университет появился в середине 11 века, назывался он Салерно. Там была в основе всего медицина, поэтому он особо и не был университетом.
Ок 1100 года появился итальянский университет Болонье.
Потом в конце 12 века появляются Парижский и Оксфордский университеты.
1209 г - появляется в Кембридже.
А в 14 веке появляются университеты в Праге(1348), Неопале(1224), Вене (1367) и т.д..
В университете было 4 факультета: искусств, богословия, права, и медицины.
Каждый студент обучался вначале на факультете искусств, на нем обучение продолжалось 6 лет, потом на остальных 8 лет. Математика проходилась на факультете искусств.
Хотя математика была в университете лишь вспомогательной дисциплиной, из стен университета вышли замечательные математики Орезм во Франции, Региомонтан в Германии, Коперник в Польше.
Особенности математики рассматриваемого периода:
1.Центр математических исследований переносится в Европу. Математика развивалась в Италии, затем Франции, Германии, Голландии.
2. Развитие математики определяется торговлей, ростом ремесел, созданием городов, мореплаванием. Эпоха Возрождение – бурное время, время романтиков, искателей, время турниров (математических).
3. В течение всей этой эпохи математикам Европы не по силам не только сделать в геометрии что-либо сопоставимое с достижениями Евклида, Аполлония, Архимеда, но даже усвоить до конца результаты великих геометров. Однако нельзя сказать, что геометрия вообще не развивалась. В это время происходит бурное развитие теории перспективы.
4. Основные достижения этого периода – решение уравнений 3-4 степеней, появление в математике комплексных чисел, выработка навыков работы с этими числами.
5. Появляется удобная символика в алгебре, что способствует ее бурному развитию. Разрабатываются новые способы решения уравнений высших степеней.
6. Появляются таблицы логарифмов.
7. Повсеместно вводится десятеричная позиционная система счисления, арабские цифры, десятичные дроби.
Имена математиков средних веков:
Леонардо Пизанский (ок.1170-1228). Он известен как Фибоначчи. Самая знаменитая его книга – это «Книга об абаке», написанная им в 1202, доработанная в 1228 году. Это была очень хорошая практическая книга. Там же появляется его знаменитый ряд Фибоначчи. Также в этой книге была теория алгебраических уравнений. Он был сыном купца, много путешествовал. Он в основном пересказывает арабскую математику.
Леонардо да Винчи (1452-1519) представитель итальянской эпохи Возрождения, был не только великим художником, но и математиком. в 1515 г. Леонардо да Винчи написал работу, где был изложен геометрический метод необходимый в скульптуре и строительстве. Значительное место в нем занимали вопросы о равносоставленности и равновеликости пространственных тел. Леонардо да Винчи нашел центр тяжести тетраэдра, исследовал свойства золотого сечения, да и сам термин ввел. При определении площади и объема фигур Леонардо использовал метод "неделимых", который получил затем свое развитие в трудах Кавальери.
Лука Пачоли. Родился ок 1454 года и умер ок 1514 года. Он был другом Леонардо да Винчи. Он очень популярен сегодня, т.к. придумал двойную бухгалтерию. Написал книгу «Сумма знаний по арифметике, геометрии учение о пропорции пропорциональность». Что замечательно, там были рассмотрены уравнения 2,3,4 степени. В этой книге уже появляется некий символизм. После этой книги использование арабских цифр стало общепринятым. Пачоли заканчивает книгу ошибочными замечаниями, что уравнения х3+ах=в, х3+а=вх не возможно, как и квадратура круга. Его авторитет был велик, что многие математике считали, что такое уравнение в общей ситуации решить нельзя. Но неудачи одних математиков, не могли остановить прогресса. В 16 веке итальянскими математиками были решены уравнения 3 и 4 степеней, при этом обогатили математику новыми числами –комплексными.
После Фибоначчи наметилось 2 направления в развитии математики. Совершенствование алгебраической символики и оформление тригонометрии и самостоятельную науку. среди ученых этого периода был профессор Парижского Университета Никола Орезм (1328-1382), который обобщил понятие степени, введя понятие степени с дробным показателем.
Изображая графически зависимость интенсивности физических явлений от времени, он заметил, что изменение вблизи точек экстремума самое медленное, но это не получило развитие и тем более применение.
Бакалавр Парижского Университета Н. Шюке вводит понятие степени с отрицательным и нулевым показателем, обозначения арифметических операций и корней.
Следующий ученый – Иоганн Мюллер (1436-----1476), известный под именем Региомонтан. Работа – 5 книг о треугольниках, в которой впервые геометрия была отделена от астрономии. В этой книге систематизированы сведения о плоских и сферических треугольниках, впервые рассмотрена задача на минимум и максимум. Он впервые в Европе составил таблицы для вычисления тригонометрических функций. Региомонтан обогатил понятие числа, введя радикалы и операции с ними. Это позволило ставить проблему решения более широкого класса уравнений в радикалах.
В средневековье были очень хорошие идеи. Так рассмотрение функций уже было в парижском университете. Уже начали размышлять об устройстве континуума. Также уже не работали ограничении о понятии числа, все теперь есть число, т.е. не было разницы между целыми числами и отношениями.
Работы математиков 16-17 и даже 18 вв. носили характер религиозного поиска. Многие исследователи считают, что соображения подобного рода не позволили Гауссу опубликовать открытую им в 1799 году неевклидову геометрию, так как считал, что при создании мира должна была заложена одна определенная геометрия пространства.
2) Решение уравнений степени, больше 2 привлекали математиков эпохи Возрождения. В Италии были популярны математические турниры, победителем которых считался тот, кто найдет больше корней предложенных уравнений. Как правило это были кубические уравнения.
Профессор Болонского университета Сципион дель Ферро (1496-1526) нашел способ решения кубического уравнения х3+px=q
Он не опубликовал найденного им метода, но некоторые ученики знали о его открытии. В конце жизни, перед смертью он сообщим способ решения уравнения своему другу, приемнику по кафедре Марио Фиоре, который решил после смерти учителя воспользоваться доверенной ему тайной по решению задач. Далее историю этого открытия напоминала драму. В то время в г. Вероне жил небогатый учитель математики Николо Фонтано(1500-1557) прозванный Тартальей. В 1935г Фиори сумел спровоцировать Тартатья и тот вызвал его на поединок. Все 30 предложенных уравнений имели вид х3+px=q при различных p,q. Когда истекли 50 дней после которых надо было сдать решения нотариусу, до Тартья дошел слух, что Фиори владеет формулой Сципиона Ферро. Перспективе угощать обедом друзей Фиори в количестве, равном числу корней найденных победителем, таковы были условия поединка, совсем не привлекали Тарталья (нет денег). Тартатья прилагает титанические усилия и за 8 дней до конца находит формулу. Фиори не смог решить ни одного уравнения, предложенных Тартатья. Все дело в том, что, получив формулу, было не легко ею воспользоваться, кроме того Тарталья нашел способ решения уравнения х3=px+q.
Метод Тартальи, как и Метод Ферро, состоит в подборе подходящей формулы алгебраической иррациональности для выражения корня уравнения:
Тартальи не опубликовал свои результаты, т.к.:
1. Он приберегал это как оружие в научном поединке;
2. Невозможность справиться с неприводимым случаем.
Тартальи сообщил свои рассуждения Кардано. Годы жизни 1501 – 1576. Он много путешествовал. Его задачей по жизни было увековечить свое имя, и он все делал ради этого, он утверждает, что сделал 40000 открытий. Замечательным в его открытиях были теория о баллистике, написал книгу об игре в кости, карданов вал. Услышав о секрете Тарталья Кардано загорелся желанием украсить свою книгу, которую писал. Тарталья долго не соглашался, но Кардано дал клятву не публиковать этого открытия. Кардано получил от Тарталья готовый способ решения уравнения без намеков на доказательство. Кардано затратил много сил на тщательную проверку и обоснование формулы.
Нежелание похоронить результаты, привело к тому что Кардано включил их в книгу «Великое искусство». Кардано изложил историю открытия, подчеркивая, что получил эту формулу от Тарталья. Тем не менее этот формула носит названия Кардано. Однако Кардано нельзя рассматривать как злодея, укравшего формулу у Тартатья. Работы Кардано сыграли большую роль в дальнейшем развитии математики. К числу открытий Кардано можно отнести признание существования отрицательных мнимых корней уравнения. Он смог правильно рассмотреть решение уравнения 3-й степени.
Но появляется случай, когда может возникнуть неприводимый случай в случае решения х3=px+q. Но дальше он приводит пример, когда уравнение неприводимо, а решение все-таки есть. Например: x3=7x+6. Так впервые появились мнимые числа. Кардано не смог до конца справится с неприводимым случаем. Это сделал другой математик Рафаэль Бомбелли (1526-1572). Основная работа – «Алгебра», в которой дает таблицу мнимых чисел: (+i)(+i)=1, рассматривает действия с комплексными числами, показывает как получить действительные корни в неприводимом случае. Он установил, что входящее «в выражение, содержащее софистические» минусы Кардано, преобразуются к виду a+bi. На конкретном примере Бомбелли показал, что в неприводимом случае вещественный корень получается, как сумма 2-х комплексных чисел: a+bi и a-bi.
Он выделил полный квадрат, получил алгебраический вывод формулы и для корней квадратного уравнения (до этого посредством геометрической алгебры осуществляли) После книг Бомбелли комплексные числа стали использоваться в промежуточных вычислениях, они перестали быть чем-то сверхъестественным. Впервые мнимые числа в алгебру вошли в связи с решением кубического уравнения, а не в теории квадратных уравнений, как они появляются в школьных учебниках. В книге Кардано присутствует решение уравнения 4 степени. Но это сделал не он, а его ученик Л.Феррари (1522-1565), который доказал, что, если уравнение имеет один мнимый корень, то у него обязательно будет мнимый корень, комплексно сопряженный с первым. Последнее его открытие – способ решения полного кубического уравнения: с помощью специальной замены он смог свести его к уравнению вида, который рассмотрел Тартальи и нашел решение уравнения 4-й степени, сведя его к уравнению 3-й степени.
Дальнейшее развитие математики было тесно связано с совершенствованием математической символики. В данный период отмечается быстрое развитие алгебры путем сокращения слов. Возникновение алгебры как общей науки об алгебраических уравнениях связано с именем Франсуа Виета (1540-1603). Он был чиновник высокого ранга. Был хороший математик, шифровальщик. Был советником и Генриха 3 и Генриха 4. Его самая замечательная книга «Введение в аналитическое искусство». Он вводит алгебраическую символику. Всю алгебру он делит на общую и числовую. Он говорит, что все должно быть одинаковой размерности. Поэтому он каждое уравнение будет записывать с учетом этого требования. Знаки действия использует такие:
+,-, умножение – in, деление – A/B. В символике гласными буквами обозначаются неизвестные, а согласными – известные.
x2+2ax=c он записывает это уравнение как:
A quad +B 2 in A aequetur z plano.
Формулы Виета он доказывать не стал, просто написал правила. Т.е. вначале просто писал уравнение n-ой степени, дальше просто формулировал все формулы словами.
В итоге совершенствование алгебраических символик, получает мощное развитие понятия числа – это два важнейших момента нашей истории.
Виет создал аналитический метод решения уравнений с помощью особых подстановок.
Основная заслуга Виета – целенаправленное введение символов для степеней, скобок. Его символика позволила усовершенствовать всю теорию уравнений. Он подробно излагает все известные сведения об уравнениях 1-4-х степеней и строит эти сведения в виде целостной системы. Для работ Виета характерно сопоставление алгебраических и тригонометрических записей. Например, уравнение х3-3х=а он сопоставил с тригонометрическим уравнением (2cosφ)3-3cosφ= 2cos3φ. Виет открыл рекуррентные формулы тригонометрии. Наиболее известная его теорема была открыта в 1591 году: зависимость между корнями и коэффициентами уравнения. Однако он не смог полностью выразить зависимость, т.к. он признавал только положительные корни.
Виет проводил параллель между решением алгебраических уравнений и геометрическими построениями. При этом были заложены основания аналитической геометрии.