Взаимное расположение прямых

Лекция 3

Прямая в

Векторное уравнение прямой в пространстве имеет вид:

, ,

где произвольный (текущий) вектор прямой , базисный (направляющий) вектор прямой . Вектор параллелен прямой , вектор сдвига, его конечная точка принадлежит прямой ; некоторое число. Если переменная пробегает весь интервал , то точка - конец вектора пробегает всю прямую . Таким образом, уравнение

прямой полностью определяется заданием базисного вектора и вектора сдвига .

Переходя в равенстве к координатам, получим параметрические уравнения прямой :

Плоскость в

При решении задач на составление уравнения плоскости рекомендуется пользоваться планом: 1) из условия задачи определим координаты какой - нибудь точки , принадлежащей плоскости .

введем текущую (произвольную) точку плоскости и вычислим текущий вектор , . Далее возможен один из следующих случаев:

1 случай: из условия задачи нашли вектор перпендикулярный плоскости (, такой вектор называется нормалью плоскости ). В этом случае векторное уравнение плоскости будет иметь вид (условие перпендикулярности двух векторов и :

переходим в к координатам, получим

- уравнение плоскости , проходящей через точку перпендикулярно вектору .

2 случай из условия задачи мы нашли два вектора и параллельных плоскости , но не параллельных между собой (такие векторы и называются также базисными векторами плоскости ). В данном случае уравнение плоскости будет иметь вид (условие линейной зависимости трех векторов , и ):

или в координатной форме:

- уравнение плоскости , проходящей через точку параллельно двум базисным векторам и .

Если раскрыть скобки в уравнении или определитель в уравнении и упростить, то получится общее уравнение плоскости :

Геометрический смысл чисел A,B,C состоит в том, что вектор будет перпендикулярен плоскости.

Взаимное расположение двух плоскостей

Пусть относительно общей декартовой системы координат заданы две плоскости a: и b: .

1. . плоскости a и b пересекаются.

2. плоскости a и b совпадают.

3. Þ aççb.

Расстояние от точки до плоскости

Угол между двумя плоскостями

Лекция 4

Прямая в .

Уравнения прямой линии в параметрической форме нам уже известны (см. пункт 1, формула (2)). Но в случае, когда прямая лежит в пространстве ,есть более удобныеуравнения прямой, которые будем использовать при решении задач.

1.Общим уравнением прямой называется уравнение вида

Как и в случае плоскости можно показать, что если то , а если , то и вектор .

2.Уравнение прямой с угловым коэффициентом:

.

Геометрический смысл числа состоит в том, что , где - угол, образованный с положительным направлением .

Пусть заданы две прямые

и

Тогда:

то есть у параллельных прямых угловые коэффициенты равны.

то есть у перпендикулярных прямых угловые коэффициенты обратны по величине и противоположны по знаку(Действительно, так как и , то

3. Уравнение пучка прямых проходящих, через точку , записывается в виде:

4. Уравнение прямой, проходящей через две точки и , имеет вид:

или .

Взаимное расположение прямых

Пусть относительно общей декартовой системы координат заданы две прямые: и .

Þ или или – условие пересечения двух прямых на плоскости.

– условие совпадения двух прямых на плоскости.

Þ или – условие параллельности двух прямых на плоскости.