Расстояние от точки до прямой

.

Угол между двумя прямыми

.

Лекция 5

Кривые (линии) второго порядка

Линии на плоскости, которые в прямоугольной декартовой системе координат задаются алгебраическими уравнениями второй степени называются линиями второго порядка. Наиболее распространёнными среди линий 2-го порядка являются эллипсы (окружность – частный случай эллипса), гиперболы, параболы.

Эллипсом называют множество точек плоскости, сумма расстояний каждой из которых до двух данных фиксированных точек и равна длине данного отрезка , причём . Точки и называются фокусами эллипса, а расстояние между фокусами – фокальным расстоянием.

Эксцентриситетом эллипса называется отношение расстояния между фокусами к длине его большой оси .

Так как , то , т.е. эксцентриситет каждого эллипса меньше 1: .

Для окружности имеем , следовательно .

Выражения для фокальных радиусов эллипса: .

Две прямые, перпендикулярные к большой оси эллипса и расположенные симметрично относительно центра на расстоянии, равном от него, называются директрисами эллипса.

Уравнения директрис в выбранной системе координат имеют вид (левая директриса) и (правая директриса).

Так как , то . Следовательно, правая директриса расположена правее правой вершины эллипса. Аналогично, левая директриса расположена левее его левой вершины.

Гипербола

Гиперболой называется множество всех точек плоскости, модуль разности расстояний каждой из которых до двух данных фиксированных точек F ₁ и F ₂ равен длине данного отрезка PQ, причём PQ < F ₁ F ₂.

Точки F ₁ и F ₂ называются фокусами гиперболы, а расстояние между ними – фокальным расстоянием, F ₁ F ₂= 2с. Если М – точка гиперболы, то отрезки F ₁ М = r ₁ и F ₂ М = r ₂ называются фокальными радиусами точки М.

F ₁ F ₂=2 с, PQ =2 a, 2 a <2 c Þ a < c.

По определению гиперболы .

- каноническое уравнение гиперболы

Прямые, определяемые уравнениями , называется асимптотой гиперболы.

Отношение расстояния от центра гиперболы до фокуса к дей­ствительной полуоси гиперболы называется эксцентриситетом ги­перболы и обозначается буквой е: .

Так как для гиперболы 0 < а < с, то е >1, т.е. эксцентриситет гиперболы больше 1.

Выражения для фокальных радиусов гиперболы

где .

Две прямые, перпендикулярные действительной оси гиперболы и отстоящие от центра гиперболы на расстоянии , называются директрисами гиперболы: .

Две гиперболы, заданные уравнениями и в одной и той же прямоугольной декартовой системе координат с одними и теми же значениями полуосей a и b, называются сопряжёнными.

Парабола

Рассмотрим прямую d и точку F Ï d. Параболой называется множество точек плоскости, расстояния каждой из которых до d и до некоторой фиксированной точки F плоскости одинаковы. Точка F называется фокусом параболы, прямая d – директрисой параболы.

Расстояние от фокуса параболы до её директрисы называется параметром параболы, . Эксцентриситет параболы принимается равным единице: .

I. . Рассмотрим параболу со смещённой вершиной: . Вершина этой параболы находится в точке .

II. . Эта парабола симметрична параболе относительно оси . Все точки этой параболы расположены левее этой оси: . Теперь переместим вершину этой параболы в точку , получим .

III. . Эта парабола имеет своей осью симметрии ось , параметр обозначили через . Ветви её направлены вверх. Переместим вершину этой параболы в точку , получим .

IV. . Парабола симметрична относительно оси , ветви направлены вниз. Переместим вершину этой параболы в точку , получим .

Теорема (без доказательства). Пусть в декартовой системе координат задано уравнение второго порядка . Тогда существует такая декартова прямоугольная система координат, в которой это уравнение принимает один из следующих девяти канонических видов:

		эллипс
		мнимый эллипс
		две мнимые пересекающиеся прямые (точка)
		гипербола
		две пересекающиеся прямые
		парабола
		две параллельные прямые
		две мнимые параллельные прямые
		две совпадающие прямые

Уравнению мнимого эллипса и уравнению пары мнимых параллельных прямых не удовлетворяет ни одна точка действительной плоскости.