Урок-лекция
Тема: Абсолютная и относительная погрешности. Приближенные числа и действия с ними
Цель: познакомится с теорией приближённых вычислений для решения задач.
1. Приближенное значение величины. Абсолютная и относительная погрешности
Решение практических задач, как правило, связано с числовыми значениями величин. Эти значения получаются либо в результате измерения, либо в результате вычислений. В большинстве случаев значения величин, которыми приходится оперировать, являются приближенными.
Пусть X - точное значение некоторой величины, а х - наилучшее из известных ее приближенных значений. В этом случае погрешность (или ошибка) приближения х определяется разностью Х-х. Обычно знак этой ошибки не имеет решающего значения, поэтому рассматривают ее абсолютную величину:
| (1) |
Величина ех, называемая абсолютной погрешностью приближенного значения х, в большинстве случаев остается неизвестной, так как для ее вычисления нужно точное значение X. Вместе с тем, на практике обычно удается установить верхнюю границу абсолютной погрешности, т.е. такое (по возможности наименьшее) число 
для которого справедливо неравенство
| (2) |
Число 
в этом случае называется предельной абсолютной погрешностью, или границей абсолютной погрешности приближения х.
Таким образом, предельная абсолютная погрешность приближенного числа х - это всякое число , не меньшее абсолютной погрешности ех этого числа.
Пример: Возьмем число 
. Если же вызвать 
на индикатор 8-разрядного МК, получим приближение этого числа: 
Попытаемся выразить абсолютную погрешность значения 
. Получили бесконечную дробь, не пригодную для практических расчетов. Очевидно, однако, что 
следовательно, число 0,00000006 = 0,6 * 10-7 можно считать предельной абсолютной погрешностью приближения 
, используемого МК вместо числа 
|
|
Неравенство (2) позволяет установить приближения к точному значению X по недостатку и избытку:
| (3) |
которые могут рассматриваться как одна из возможных пар значений соответственно нижней границы (НГ) и верхней границы (ВГ) приближения х:
 
| (4) |
Во многих случаях значения границы абсолютной ошибки так же как и наилучшие значения приближения х,получаются на практике в результате измерений. Пусть, например, в результате повторных измерений одной и той же величины х получены значения: 5,2; 5,3; 5,4; 5,3. В этом случае естественно принять за наилучшее приближение измеряемой величины среднее значение х = 5,3. Очевидно также, что граничными значениями величины х в данном случае будут НГХ= 5,2, ВГХ = 5,4, а граница абсолютной погрешности х может быть определена как половина длины интервала, образуемого граничными значениями НГХ и ВГХ,
т.е. 
По абсолютной погрешности нельзя в полной мере судить о точности измерений или вычислений. Качество приближения характеризуется величиной относительной погрешности, которая определяется как отношение ошибки ех к модулю значения X (когда оно неизвестно, то к модулю приближения х).
Предельной относительной погрешностью (или границей относительной погрешности) 
приближенного числа называется отношение предельной абсолютной погрешности к абсолютному значению приближения х:
| (5) |
Формула (5) позволяет при необходимости выражать абсолютную погрешность через относительную:
|
|
| (6) |
Относительную погрешность выражают обычно в процентах.
Пример Определим предельные погрешности числа х=3,14 как приближенного значения π. Так как π=3,1415926…., то 
|π-3,14|<0,0015927<0,0016= по формуле связи получаем 
таким образом 
2. Верные и значащие цифры. Запись приближенных значений
Цифра числа называется верной (в широком смысле), если ее абсолютная погрешность не превосходит единицы разряда, вкотором стоит эта цифра.
Пример. Х=6,328 
Х=0,0007 X<0,001 следовательно цифра 8-верная
Пример: А). Пусть а = 2,91385, 
В числе а верны в широком смысле цифры 2, 9, 1.
Б) Возьмем в качестве приближения к числу = 3,141592... число 
= 3,142. Тогда 
(рис.) откуда следует, что в приближенном значении = 3,142 все цифры являются верными.
Первая отброшенная (неверная) цифра часто называется сомнительной.
Говорят, что приближенное данное записано правильно, если в его записи все цифры верные. Если число записано правильно, то по одной только его записи в виде десятичной дроби можно судить о точности этого числа. Пусть, например, записано приближенное число а = 16,784, в котором все цифры верны. Из того, что верна последняя цифра 4, которая стоит в разряде тысячных, следует, что абсолютная погрешность значения а не превышает 0,001. Это значит, что можно принять 
т.е. а = 16,784±0,001.
Очевидно, что правильная запись приближенных данных не только допускает, но и обязывает выписывать нули в последних разрядах, если эти нули являются выражением верных цифр. Например, в записи 
= 109,070 нуль в конце означает, что цифра в разряде тысячных верна и она равна нулю. Предельной абсолютной погрешностью значения , как следует из записи, можно считать 
Для сравнения можно заметить, что значение с = 109,07 является менее точным, так как из его записи приходится принять, что 
|
|
Значащими цифрами в записи числа называются все цифры в его десятичном изображении, отличные от нуля, и нули, если они расположены между значащими цифрами или стоят в конце для выражения верных знаков.
Пример а) 0,2409 - четыре значащие цифры; б) 24,09 - четыре значащие цифры; в) 100,700 - шесть значащих цифр.
Выдача числовых значений в ЭВМ, как правило, устроена таким образом, что нули в конце записи числа, даже если они верные, не сообщаются. Это означает, что если, например, ЭВМ показывает результат 247,064 и в то же время известно, что в этом результате верными должны быть восемь значащих цифр, то полученный ответ следует дополнить нулями: 247,06400.
В процессе вычислений часто происходит округление чисел, т.е. замена чисел их значениями с меньшим количеством значащих цифр. При округлении возникает погрешность, называемая погрешностью округления. Пусть х -данное число, а х 1 - результат округления. Погрешность округления определяется как модуль разности прежнего и нового значений числа:
| (7) |
В отдельных случаях вместо ∆окр приходится использовать его верхнюю оценку.
Пример Выполним на 8-разрядном МК действие 1/6. На индикаторе высветится число 0,1666666. Произошло автоматическое округление бесконечной десятичной дроби 0,1(6) до числа разрядов, вмещающихся в регистре МК. При этом можно принять 
Цифра числа называется верной в строгом смысле, если абсолютная погрешность этого числа не превосходит половины единицы разряда, в котором стоит эта цифра.