Уравнения плоскости в пространстве. Основные задачи о плоскости. Уравнения прямой линии в пространстве. Основные задачи о прямой линии. Прямая и плоскость в пространстве. Поверхности второго порядка. [3, §12].
Пример 8. Даны точки ; ; ; . Найти: 1) длину отрезка ; 2) уравнения прямых и ; 3) угол между прямыми и ; 4) уравнение плоскости ; 5) угол между прямой и плоскостью ; 6) уравнения высоты, опущенной из точки на плоскость .
Решение:
1. Расстояние между точками и находится по формуле .
В данном случае .
2. Уравнения прямой, проходящей через две заданные точки пространства и имеют вид .
Тогда уравнения прямой : или , уравнения прямой : или .
3. Острый угол между прямыми линиями, заданными уравнениями и определяется по формуле: .
Из уравнения прямой : , , ; из уравнения прямой : , , . Следовательно,
, .
4. Уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки , , имеет вид .
Тогда уравнение плоскости : ;
; .
5. Острый угол между прямой линией и плоскостью определяется по формуле: .
Из уравнения прямой : , , ; из уравнения плоскости : , , .
Следовательно, , .
6. Уравнения высоты, опущенной из точки на плоскость имеют вид: , где , , (координаты точки ), – направляющий вектор искомой прямой.
Так как эта прямая перпендикулярна плоскости , то за вектор можно принять вектор нормали плоскости . Так как (, , – коэффициенты из общего уравнения плоскости ), то .
Значит, искомые уравнения имеют вид .
Тема 5. Введение в математический анализ
Числовые функции. График функции. Основные характеристики функции. Сложная функция. Основные элементарные функции и их графики. [3, §14]. Предел функции в точке. Односторонние пределы. Предел функции при . [3, §16]. Основные теоремы о пределах. Первый и второй замечательные пределы. [3, §17]. Непрерывность функции в точке и на отрезке. Точки разрыва функции и их классификация. Свойства функций, непрерывных на отрезке. [3, §19].
Пример 9. Найти пределы функций, не пользуясь правилом Лопиталя:
1) ; 2) ; 3) ;
4) ; 5) .
Решение:
1) .
2) .
Раскроем неопределенность . Так как и , то
.
3) .
Для раскрытия неопределенности разделим числитель и знаменатель на старшую степень :
, так как , , при .
4) .
Для раскрытия неопределенности умножим числитель и знаменатель на выражение, сопряженное знаменателю:
.
5) .
Сделаем замену , тогда , . Так как , то .
Тогда
, так как – второй замечательный предел.
Пример 10. Дана функция Найти точки разрыва функции, если они существуют, и построить ее график.
Решение: Функции , , непрерывны на всей числовой прямой, поэтому заданная функция может иметь разрывы только в точках, где меняется ее аналитическое выражение, то есть в точках и .
Исследуем функцию на непрерывность в этих точках. Для этого найдем соответствующие односторонние пределы и значения функции.
Рассмотрим поведение функции при :
;
; .
Так как , то заданная функция непрерывна в точке .
Рассмотрим поведение функции при :
; .
Так как пределы и конечны и не равны, то точка – точка разрыва I рода (функция в этой точке претерпевает «скачок» на единицы).
Сделаем чертеж:
Задачи для контрольных работ
ВАРИАНТ 1
Контрольная работа №1
1. Дана матрица . Найти .
2. Решить систему линейных уравнений
1) по правилу Крамера;
2) с помощью обратной матрицы;
3) методом Гаусса.
3. Дано: , , , векторы и составляют стороны параллелограмма .
Найти:
1) длины диагоналей параллелограмма ;
2) острый угол между диагоналями параллелограмма ;
3) площадь параллелограмма .
4. Даны точки ; ; ; . Требуется:
1) записать векторы , , в ортонормированном базисе;
2) найти длины векторов , , ;
3) показать, что векторы , , образуют базис трехмерного пространства;
4) найти острый угол между векторами и ;
5) найти алгебраическую проекцию вектора на вектор ;
6) найти площадь треугольника ;
7) найти объем пирамиды .
5. Найти собственные значения и собственные векторы матрицы .
Контрольная работа №2
1. Даны координаты вершин треугольника : , , . Найти:
1) длину стороны ;
2) уравнения сторон и и их угловые коэффициенты; 3) внутренний угол в радианах с точностью до ;
4) уравнение высоты и ее длину, не используя координаты точки ;
5) уравнение медианы ;
6) точку пересечения высот треугольника .
Сделать чертеж.
2. Составить уравнение прямой, проходящей через левый фокус эллипса параллельно прямой .
3. Даны точки ; ; ; . Найти:
1) длину отрезка ;
2) уравнения прямых и ;
3) угол между прямыми и ;
4) уравнение плоскости ;
5) угол между прямой и плоскостью ;
6) уравнения высоты, опущенной из точки на плоскость .
4. Найти пределы функций, не пользуясь правилом Лопиталя:
1) ; 2) ; 3) ;
4) ; 5) .
5. Дана функция
Найти точки разрыва функции, если они существуют, и построить ее график.
ВАРИАНТ 2
Контрольная работа №1
1. Дана матрица . Найти .
2. Решить систему линейных уравнений
1) по правилу Крамера;
2) с помощью обратной матрицы;
3) методом Гаусса.
3. Дано: , , , векторы и составляют стороны параллелограмма .
Найти:
1) длины диагоналей параллелограмма ;
2) острый угол между диагоналями параллелограмма ;
3) площадь параллелограмма .
4. Даны точки ; ; ; . Требуется:
1) записать векторы , , в ортонормированном базисе;
2) найти длины векторов , , ;
3) показать, что векторы , , образуют базис трехмерного пространства;
4) найти острый угол между векторами и ;
5) найти алгебраическую проекцию вектора на вектор ;
6) найти площадь треугольника ;
7) найти объем пирамиды .
5. Найти собственные значения и собственные векторы матрицы .
Контрольная работа №2
1. Даны координаты вершин треугольника : , , . Найти:
1) длину стороны ;
2) уравнения сторон и и их угловые коэффициенты;
3) внутренний угол в радианах с точностью до ;
4) уравнение высоты и ее длину, не используя координаты точки ;
5) уравнение медианы ;
6) точку пересечения высот треугольника .
Сделать чертеж.
2. Составить уравнение прямой, проходящей через вершину параболы параллельно прямой .
3. Даны точки ; ; ; . Найти:
1) длину отрезка ;
2) уравнения прямых и ;
3) угол между прямыми и ;
4) уравнение плоскости ;
5) угол между прямой и плоскостью ;
6) уравнения высоты, опущенной из точки на плоскость .
4. Найти пределы функций, не пользуясь правилом Лопиталя:
1) ; 2) ; 3) ;
4) ; 5) .
5. Дана функция
Найти точки разрыва функции, если они существуют, и построить ее график.
ВАРИАНТ 3
Контрольная работа №1
1. Дана матрица . Найти .
2. Решить систему линейных уравнений
1) по правилу Крамера;
2) с помощью обратной матрицы;
3) методом Гаусса.
3. Дано: , , , векторы и составляют стороны параллелограмма .
Найти:
1) длины диагоналей параллелограмма ;
2) острый угол между диагоналями параллелограмма ;
3) площадь параллелограмма .
4. Даны точки ; ; ; . Требуется:
1) записать векторы , , в ортонормированном базисе;
2) найти длины векторов , , ;
3) показать, что векторы , , образуют базис трехмерного пространства;
4) найти острый угол между векторами и ;
5) найти алгебраическую проекцию вектора на вектор ;
6) найти площадь треугольника ;
7) найти объем пирамиды .
5. Найти собственные значения и собственные векторы матрицы .
Контрольная работа №2
1. Даны координаты вершин треугольника : , , . Найти:
1) длину стороны ;
2) уравнения сторон и и их угловые коэффициенты;
3) внутренний угол в радианах с точностью до ;
4) уравнение высоты и ее длину, не используя координаты точки ;
5) уравнение медианы ;
6) точку пересечения высот треугольника .
Сделать чертеж.
2. Составить уравнения прямых, проходящих через точку параллельно асимптотам гиперболы .
3. Даны точки ; ; ; . Найти:
1) длину отрезка ;
2) уравнения прямых и ;
3) угол между прямыми и ;
4) уравнение плоскости ;
5) угол между прямой и плоскостью ;
6) уравнения высоты, опущенной из точки на плоскость .
4. Найти пределы функций, не пользуясь правилом Лопиталя:
1) ; 2) ; 3) ;
4) ; 5) .
5. Дана функция
Найти точки разрыва функции, если они существуют, и построить ее график.
ВАРИАНТ 4
Контрольная работа №1
1. Дана матрица . Найти .
2. Решить систему линейных уравнений
1) по правилу Крамера;
2) с помощью обратной матрицы;
3) методом Гаусса.
3. Дано: , , , векторы и составляют стороны параллелограмма .
Найти:
1) длины диагоналей параллелограмма ;
2) острый угол между диагоналями параллелограмма ;
3) площадь параллелограмма .
4. Даны точки ; ; ; . Требуется:
1) записать векторы , , в ортонормированном базисе;
2) найти длины векторов , , ;
3) показать, что векторы , , образуют базис трехмерного пространства;
4) найти острый угол между векторами и ;
5) найти алгебраическую проекцию вектора на вектор ;
6) найти площадь треугольника ;
7) найти объем пирамиды .
5. Найти собственные значения и собственные векторы матрицы .
Контрольная работа №2
1. Даны координаты вершин треугольника : , , . Найти:
1) длину стороны ;
2) уравнения сторон и и их угловые коэффициенты;
3) внутренний угол в радианах с точностью до ;
4) уравнение высоты и ее длину, не используя координаты точки ;
5) уравнение медианы ;
6) точку пересечения высот треугольника .
Сделать чертеж.
2. Дана парабола . Найти длину ее хорды, проходящей через точку параллельно прямой .
3. Даны точки ; ; ; . Найти:
1) длину отрезка ;
2) уравнения прямых и ;
3) угол между прямыми и ;
4) уравнение плоскости ;
5) угол между прямой и плоскостью ;
6) уравнения высоты, опущенной из точки на плоскость .
4. Найти пределы функций, не пользуясь правилом Лопиталя:
1) ; 2) ; 3) ;
4) ; 5) .
5. Дана функция
Найти точки разрыва функции, если они существуют, и построить ее график.
ВАРИАНТ 5
Контрольная работа №1
1. Дана матрица . Найти .
2. Решить систему линейных уравнений
1) по правилу Крамера;
2) с помощью обратной матрицы;
3) методом Гаусса.
3. Дано: , , , векторы и составляют стороны параллелограмма .
Найти:
1) длины диагоналей параллелограмма ;
2) острый угол между диагоналями параллелограмма ;
3) площадь параллелограмма .
4. Даны точки ; ; ; . Требуется:
1) записать векторы , , в ортонормированном базисе;
2) найти длины векторов , , ;
3) показать, что векторы , , образуют базис трехмерного пространства;
4) найти острый угол между векторами и ;
5) найти алгебраическую проекцию вектора на вектор ;
6) найти площадь треугольника ;
7) найти объем пирамиды .
5. Найти собственные значения и собственные векторы матрицы .
Контрольная работа №2
1. Даны координаты вершин треугольника : , , . Найти:
1) длину стороны ;
2) уравнения сторон и и их угловые коэффициенты;
3) внутренний угол в радианах с точностью до ;
4) уравнение высоты и ее длину, не используя координаты точки ;
5) уравнение медианы ;
6) точку пересечения высот треугольника .
Сделать чертеж.
2. Составить уравнение прямой, проходящей через центр гиперболы параллельно прямой .
3. Даны точки ; ; ; . Найти:
1) длину отрезка ;
2) уравнения прямых и ;
3) угол между прямыми и ;
4) уравнение плоскости ;
5) угол между прямой и плоскостью ;
6) уравнения высоты, опущенной из точки на плоскость .
4. Найти пределы функций, не пользуясь правилом Лопиталя:
1) ; 2) ; 3) ;
4) ; 5) .
5. Дана функция
Найти точки разрыва функции, если они существуют, и построить ее график.
ВАРИАНТ 6
Контрольная работа №1
1. Дана матрица . Найти .
2. Решить систему линейных уравнений
1) по правилу Крамера;
2) с помощью обратной матрицы;
3) методом Гаусса.
3. Дано: , , , векторы