Уравнения плоскости в пространстве. Основные задачи о плоскости. Уравнения прямой линии в пространстве. Основные задачи о прямой линии. Прямая и плоскость в пространстве. Поверхности второго порядка. [3, §12].
Пример 8. Даны точки ;
;
;
. Найти: 1) длину отрезка
; 2) уравнения прямых
и
; 3) угол между прямыми
и
; 4) уравнение плоскости
; 5) угол между прямой
и плоскостью
; 6) уравнения высоты, опущенной из точки
на плоскость
.
Решение:
1. Расстояние между точками и
находится по формуле
.
В данном случае .
2. Уравнения прямой, проходящей через две заданные точки пространства и
имеют вид
.
Тогда уравнения прямой :
или
, уравнения прямой
:
или
.
3. Острый угол между прямыми линиями, заданными уравнениями и
определяется по формуле:
.
Из уравнения прямой :
,
,
; из уравнения прямой
:
,
,
. Следовательно,
,
.
4. Уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки ,
,
имеет вид
.
Тогда уравнение плоскости :
;
;
.
5. Острый угол между прямой линией и плоскостью
определяется по формуле:
.
Из уравнения прямой :
,
,
; из уравнения плоскости
:
,
,
.
Следовательно, ,
.
6. Уравнения высоты, опущенной из точки на плоскость
имеют вид:
, где
,
,
(координаты точки
),
– направляющий вектор искомой прямой.
Так как эта прямая перпендикулярна плоскости , то за вектор
можно принять вектор нормали
плоскости
. Так как
(
,
,
– коэффициенты из общего уравнения плоскости
), то
.
Значит, искомые уравнения имеют вид .
Тема 5. Введение в математический анализ
Числовые функции. График функции. Основные характеристики функции. Сложная функция. Основные элементарные функции и их графики. [3, §14]. Предел функции в точке. Односторонние пределы. Предел функции при . [3, §16]. Основные теоремы о пределах. Первый и второй замечательные пределы. [3, §17]. Непрерывность функции в точке и на отрезке. Точки разрыва функции и их классификация. Свойства функций, непрерывных на отрезке. [3, §19].
Пример 9. Найти пределы функций, не пользуясь правилом Лопиталя:
1) ; 2)
; 3)
;
4) ; 5)
.
Решение:
1) .
2) .
Раскроем неопределенность . Так как
и
, то
.
3) .
Для раскрытия неопределенности разделим числитель и знаменатель на старшую степень
:
, так как
,
,
при
.
4) .
Для раскрытия неопределенности
умножим числитель и знаменатель на выражение, сопряженное знаменателю:
.
5) .
Сделаем замену , тогда
,
. Так как
, то
.
Тогда
, так как
– второй замечательный предел.
Пример 10. Дана функция Найти точки разрыва функции, если они существуют, и построить ее график.
Решение: Функции ,
,
непрерывны на всей числовой прямой, поэтому заданная функция
может иметь разрывы только в точках, где меняется ее аналитическое выражение, то есть в точках
и
.
Исследуем функцию на непрерывность в этих точках. Для этого найдем соответствующие односторонние пределы и значения функции.
Рассмотрим поведение функции при :
;
;
.
Так как , то заданная функция непрерывна в точке
.
Рассмотрим поведение функции при :
;
.
Так как пределы и
конечны и не равны, то точка
– точка разрыва I рода (функция в этой точке претерпевает «скачок» на
единицы).
Сделаем чертеж:
Задачи для контрольных работ
ВАРИАНТ 1
Контрольная работа №1
1. Дана матрица . Найти
.
2. Решить систему линейных уравнений
1) по правилу Крамера;
2) с помощью обратной матрицы;
3) методом Гаусса.
3. Дано: ,
,
, векторы
и
составляют стороны параллелограмма
.
Найти:
1) длины диагоналей параллелограмма ;
2) острый угол между диагоналями параллелограмма ;
3) площадь параллелограмма .
4. Даны точки ;
;
;
. Требуется:
1) записать векторы ,
,
в ортонормированном базисе;
2) найти длины векторов ,
,
;
3) показать, что векторы ,
,
образуют базис трехмерного пространства;
4) найти острый угол между векторами и
;
5) найти алгебраическую проекцию вектора на вектор
;
6) найти площадь треугольника ;
7) найти объем пирамиды .
5. Найти собственные значения и собственные векторы матрицы .
Контрольная работа №2
1. Даны координаты вершин треугольника :
,
,
. Найти:
1) длину стороны ;
2) уравнения сторон и
и их угловые коэффициенты; 3)
внутренний угол
в радианах с точностью до
;
4) уравнение высоты и ее длину, не используя координаты точки
;
5) уравнение медианы ;
6) точку пересечения высот треугольника .
Сделать чертеж.
2. Составить уравнение прямой, проходящей через левый фокус эллипса параллельно прямой
.
3. Даны точки ;
;
;
. Найти:
1) длину отрезка ;
2) уравнения прямых и
;
3) угол между прямыми и
;
4) уравнение плоскости ;
5) угол между прямой и плоскостью
;
6) уравнения высоты, опущенной из точки на плоскость
.
4. Найти пределы функций, не пользуясь правилом Лопиталя:
1) ; 2)
; 3)
;
4) ; 5)
.
5. Дана функция
Найти точки разрыва функции, если они существуют, и построить ее график.
ВАРИАНТ 2
Контрольная работа №1
1. Дана матрица . Найти
.
2. Решить систему линейных уравнений
1) по правилу Крамера;
2) с помощью обратной матрицы;
3) методом Гаусса.
3. Дано: ,
,
, векторы
и
составляют стороны параллелограмма
.
Найти:
1) длины диагоналей параллелограмма ;
2) острый угол между диагоналями параллелограмма ;
3) площадь параллелограмма .
4. Даны точки ;
;
;
. Требуется:
1) записать векторы ,
,
в ортонормированном базисе;
2) найти длины векторов ,
,
;
3) показать, что векторы ,
,
образуют базис трехмерного пространства;
4) найти острый угол между векторами и
;
5) найти алгебраическую проекцию вектора на вектор
;
6) найти площадь треугольника ;
7) найти объем пирамиды .
5. Найти собственные значения и собственные векторы матрицы .
Контрольная работа №2
1. Даны координаты вершин треугольника :
,
,
. Найти:
1) длину стороны ;
2) уравнения сторон и
и их угловые коэффициенты;
3) внутренний угол в радианах с точностью до
;
4) уравнение высоты и ее длину, не используя координаты точки
;
5) уравнение медианы ;
6) точку пересечения высот треугольника .
Сделать чертеж.
2. Составить уравнение прямой, проходящей через вершину параболы параллельно прямой
.
3. Даны точки ;
;
;
. Найти:
1) длину отрезка ;
2) уравнения прямых и
;
3) угол между прямыми и
;
4) уравнение плоскости ;
5) угол между прямой и плоскостью
;
6) уравнения высоты, опущенной из точки на плоскость
.
4. Найти пределы функций, не пользуясь правилом Лопиталя:
1) ; 2)
; 3)
;
4) ; 5)
.
5. Дана функция
Найти точки разрыва функции, если они существуют, и построить ее график.
ВАРИАНТ 3
Контрольная работа №1
1. Дана матрица . Найти
.
2. Решить систему линейных уравнений
1) по правилу Крамера;
2) с помощью обратной матрицы;
3) методом Гаусса.
3. Дано: ,
,
, векторы
и
составляют стороны параллелограмма
.
Найти:
1) длины диагоналей параллелограмма ;
2) острый угол между диагоналями параллелограмма ;
3) площадь параллелограмма .
4. Даны точки ;
;
;
. Требуется:
1) записать векторы ,
,
в ортонормированном базисе;
2) найти длины векторов ,
,
;
3) показать, что векторы ,
,
образуют базис трехмерного пространства;
4) найти острый угол между векторами и
;
5) найти алгебраическую проекцию вектора на вектор
;
6) найти площадь треугольника ;
7) найти объем пирамиды .
5. Найти собственные значения и собственные векторы матрицы .
Контрольная работа №2
1. Даны координаты вершин треугольника :
,
,
. Найти:
1) длину стороны ;
2) уравнения сторон и
и их угловые коэффициенты;
3) внутренний угол в радианах с точностью до
;
4) уравнение высоты и ее длину, не используя координаты точки
;
5) уравнение медианы ;
6) точку пересечения высот треугольника .
Сделать чертеж.
2. Составить уравнения прямых, проходящих через точку параллельно асимптотам гиперболы
.
3. Даны точки ;
;
;
. Найти:
1) длину отрезка ;
2) уравнения прямых и
;
3) угол между прямыми и
;
4) уравнение плоскости ;
5) угол между прямой и плоскостью
;
6) уравнения высоты, опущенной из точки на плоскость
.
4. Найти пределы функций, не пользуясь правилом Лопиталя:
1) ; 2)
; 3)
;
4) ; 5)
.
5. Дана функция
Найти точки разрыва функции, если они существуют, и построить ее график.
ВАРИАНТ 4
Контрольная работа №1
1. Дана матрица . Найти
.
2. Решить систему линейных уравнений
1) по правилу Крамера;
2) с помощью обратной матрицы;
3) методом Гаусса.
3. Дано: ,
,
, векторы
и
составляют стороны параллелограмма
.
Найти:
1) длины диагоналей параллелограмма ;
2) острый угол между диагоналями параллелограмма ;
3) площадь параллелограмма .
4. Даны точки ;
;
;
. Требуется:
1) записать векторы ,
,
в ортонормированном базисе;
2) найти длины векторов ,
,
;
3) показать, что векторы ,
,
образуют базис трехмерного пространства;
4) найти острый угол между векторами и
;
5) найти алгебраическую проекцию вектора на вектор
;
6) найти площадь треугольника ;
7) найти объем пирамиды .
5. Найти собственные значения и собственные векторы матрицы .
Контрольная работа №2
1. Даны координаты вершин треугольника :
,
,
. Найти:
1) длину стороны ;
2) уравнения сторон и
и их угловые коэффициенты;
3) внутренний угол в радианах с точностью до
;
4) уравнение высоты и ее длину, не используя координаты точки
;
5) уравнение медианы ;
6) точку пересечения высот треугольника .
Сделать чертеж.
2. Дана парабола . Найти длину ее хорды, проходящей через точку
параллельно прямой
.
3. Даны точки ;
;
;
. Найти:
1) длину отрезка ;
2) уравнения прямых и
;
3) угол между прямыми и
;
4) уравнение плоскости ;
5) угол между прямой и плоскостью
;
6) уравнения высоты, опущенной из точки на плоскость
.
4. Найти пределы функций, не пользуясь правилом Лопиталя:
1) ; 2)
; 3)
;
4) ; 5)
.
5. Дана функция
Найти точки разрыва функции, если они существуют, и построить ее график.
ВАРИАНТ 5
Контрольная работа №1
1. Дана матрица . Найти
.
2. Решить систему линейных уравнений
1) по правилу Крамера;
2) с помощью обратной матрицы;
3) методом Гаусса.
3. Дано: ,
,
, векторы
и
составляют стороны параллелограмма
.
Найти:
1) длины диагоналей параллелограмма ;
2) острый угол между диагоналями параллелограмма ;
3) площадь параллелограмма .
4. Даны точки ;
;
;
. Требуется:
1) записать векторы ,
,
в ортонормированном базисе;
2) найти длины векторов ,
,
;
3) показать, что векторы ,
,
образуют базис трехмерного пространства;
4) найти острый угол между векторами и
;
5) найти алгебраическую проекцию вектора на вектор
;
6) найти площадь треугольника ;
7) найти объем пирамиды .
5. Найти собственные значения и собственные векторы матрицы .
Контрольная работа №2
1. Даны координаты вершин треугольника :
,
,
. Найти:
1) длину стороны ;
2) уравнения сторон и
и их угловые коэффициенты;
3) внутренний угол в радианах с точностью до
;
4) уравнение высоты и ее длину, не используя координаты точки
;
5) уравнение медианы ;
6) точку пересечения высот треугольника .
Сделать чертеж.
2. Составить уравнение прямой, проходящей через центр гиперболы параллельно прямой
.
3. Даны точки ;
;
;
. Найти:
1) длину отрезка ;
2) уравнения прямых и
;
3) угол между прямыми и
;
4) уравнение плоскости ;
5) угол между прямой и плоскостью
;
6) уравнения высоты, опущенной из точки на плоскость
.
4. Найти пределы функций, не пользуясь правилом Лопиталя:
1) ; 2)
; 3)
;
4) ; 5)
.
5. Дана функция
Найти точки разрыва функции, если они существуют, и построить ее график.
ВАРИАНТ 6
Контрольная работа №1
1. Дана матрица . Найти
.
2. Решить систему линейных уравнений
1) по правилу Крамера;
2) с помощью обратной матрицы;
3) методом Гаусса.
3. Дано: ,
,
, векторы