Основные понятия и формулы
Комплексными числами называются упорядоченные пары 
действительных чисел, для которых следующим образом определены операции сложения и умножения: если 
и 
, то
, 
.
Комплексное число изображается точкой или вектором на координатной плоскости (рис. 1.1). Множество всех комплексных чисел обозначается буквой 
. Действительные числа 
и 
называются действительной и мнимой частью комплексного числа . Если 
, 
то 
; 
. Поэтому комплексное число вида 
естественно отождествить с действительным числом 
.
Все свойства сложения и умножения действительных чисел переносятся и на комплексные числа.
Число 
называется мнимой единицей; его квадрат:
.
Каждое комплексное число можно представить в виде 
или, используя введенные выше отождествления, в виде 
или 
. В дальнейшем будем пользоваться именно такой записью комплексных чисел. Она удобна тем, что числа 
и 
можно складывать и умножать по «обычным» правилам как двучлены, не обращаясь к определению этих действий:
,
Модулем комплексного числа 
называется число
,
а аргументом любое число 
такое, что
, 
. (1.1)
Геометрический смысл чисел 
и 
изображен на рис. 1.1. Аргумент определен с точностью до слагаемого 
, 
. То единственное значение аргумента, которое удовлетворяет неравенству 
, называется его главным значением и обозначается 
.
Из (1.1) получаем тригонометрическую форму комплексного числа
. (1.2)
Обозначив здесь 
, получим показательную форму комплексного числа
. (1.3)
Для возведения числа z в степень 
удобно записать его в показательной форме (1.2) и воспользоваться формулой Муавра
. (1.4)
Корнем n-ной степени из комплексного числа 
называется любое такое комплексное число w, что 
. Существует ровно n различных значений корня из комплексного числа 
; все они обозначаются 
, 
и находятся по формуле
, 
; 
. (1.5)
Здесь 
– действительное положительное число.
Число 
называется комплексно-сопряженным числу (см. рис 1.1). Операция сопряжения имеет следующие свойства:
1) 
;
2) 
;
3) 
;
3) 
;
4) 
;
5) 
;
6) 
, 
;
7) Если 
, то 
.
Примеры решения задач
1.2.1. Найти 
, если 
.
◀ 
;
;
(здесь учтено, что 
);
, 
(здесь учтено, что 
).
▶
1.2.2. Записать комплексное число 
в тригонометрической и показательной формах.
◀ Модуль числа 
. Главное значение аргумента найдем из условий (1.1): 
; 
. Следовательно, 
. По формулам (1.2) и (1.3) получаем тригонометрическую и показательную форму числа: 
и 
▶
1.2.3. Найти 
.
◀ Комплексное число 
представим в показательной форме: 
; так как 
и 
, то 
, и поэтому
.
Теперь по формуле Муавра (1.4)
.
Перейдя к тригонометрической форме, получим
▶
1.2.4. Найти все значения 
.
◄ Так как 
, то модуль этого числа 
, а аргумент 
находим из условий 
, 
; , откуда 
(рис. 1.2). По формуле (1.5) имеем далее
, 
.
При 
,
при 
,
при 
. ▶
1.2.5. Описать геометрически следующие множества:
; 
.
◄ Поскольку 
, то множество A представляет собой полосу между горизонтальными прямыми 
и 
(рис. 1.3).
Модуль разности 
между двумя комплексными числами является расстоянием между изображающими их точками на плоскости, поэтому B представляет собой окружность радиуса 1 с центром в точке 
.
Множество C изображено на рис. 1.4. Неравенства 
задают кольцо между двумя окружностями 
и 
радиусов 1 и 2 с центрами в точке 0. Неравенства 
задают сектор между двумя лучами 
и 
.
Так как 
, то 
; то есть множество D представляет собой внешность круга радиуса 
с центром в точке 0 (см. рис. 1.4). ▶
Задачи для самостоятельного решения
В задачах 1.3.1 и 1.3.2 изобразить на комплексной плоскости числа , 
и 
; найти 
и 
.
1.3.1.  ,  .
| 1.3.2.  ,  .
| |
1.3.3.Вычислить  .
| 1.3.4.Вычислить  .
| |
1.3.5.Найти  .
| 1.3.6.Найти .
| |
1.3.7.Найти все значения  .
| 1.3.8.Найти все значения  .
| |
В задачах 1.3.9 и 1.3.10 найти модуль и аргумент комплексного числа , записать его в тригонометрической и показательной формах.
1.3.9.  ;
| 1.3.10. .
|
В задачах 1.3.11 и 1.3.12 описать геометрически указанные множества.
1.3.11.  ;
 ;
 ;
 .
| 1.3.12.  ;
 ;
 ;
 .
|
1.3.13. Используя свойства операции сопряжения, найти выражение 
через , если 
.
1.3.14. Используя свойства операции сопряжения, доказать, что число 
является действительным при любом 
, .