5. Проверка гипотезы о равенстве дисперсий
Нулевая гипотеза: дисперсии двух нормально распределенных генеральных совокупностей, из которых сделаны выборки, равны между собой; Н0: σ21 = σ22
Альтернативная гипотеза: дисперсии двух нормально распределенных генеральных совокупностей, из которых сделаны выборки, различны; Н1: σ21 ≠ σ22
Гипотеза о равенстве дисперсий проверяется по критерию Фишера: она принимается, если статистика
Fрасч = S22/ S21
будет меньше критического значения распределения Фишера:
Fкр = F(α/2;k2;k1).
а) рассчитаем статистику, используя ранее найденные значения исправленных дисперсий выборок (большую дисперсию делим на меньшую):
Fрасч = 19,84533/12,98557 = 1,52826;
Найдем критическую точку распределения: =FРАСПОБР(0,068/2;29;29), получим Fкр = 1,99426.
Так как Fрасч < Fкр, нет оснований отвергнуть нулевую гипотезу, можно считать, что исходные генеральные совокупности, из которых извлечены выборки, имеют равные дисперсии.
б) проверим гипотезу при помощи Пакета анализа. В верхней строке-меню выбираем: Данные – Анализ данных – Двухвыборочный F-тест для дисперсии.
В диалоговом окне указываем интервал переменной 1(А49:А78), интервал переменной 2 (В49:В78), значение Альфа (=0,068/2=0,034, т.к. двусторонний критерий) и выходной интервал (А131). Получаем:
Таблица 3. Результаты двухвыборочного F-теста для дисперсии
Т.к. F = 1,52826 < 1,99426 = Fкритическое, нулевая гипотеза о равенстве дисперсий принимается.
6. Проверка гипотезы о равенстве средних
Нулевая гипотеза: средние значения генеральных совокупностей, из которых сделаны выборки, равны. Н0: m1= m2
Альтернативная гипотеза: средние значения генеральных совокупностей, из которых сделаны выборки, различны. Н1: m1 ≠ m2
Т.к. мы выяснили, что дисперсии генеральных совокупностей равны, применим для проверки двухвыборочный t- тест с одинаковыми дисперсиями. Его статистика:
где Хср – средние значения выборок, n, m – объемы выборок, Sсв – сводная дисперсия, рассчитывается по формуле:
Эта статистика имеет распределение Стьюдента с m+n-2 степенями свободы, поэтому критическое значение для двустороннего критерия можно найти, применив функцию: =СТЬЮДРАСПОБР(0,068/2;30+30-2)
Но мы используем для проверки гипотезы Пакет анализа:
в верхней строке – меню выбираем последовательно: Данные – Анализ данных – Двухвыборочный t- тест с одинаковыми дисперсиями. В диалоговом окне указываем диапазоны выборок, значение Альфа = 0,068/2=0,034(критерий двусторонний) и выходной диапазон. Получаем:
Таблица 4. Результаты двухвыборочного t- теста с одинаковыми дисперсиями
Т.к. 0,25172 = │t│< tкр = 2,17146, нулевая гипотеза принимается.
Заключение
В данной работе было проведено сравнение двух выборок. Выборки взяты из предложенных преподавателем, вариант №11. С помощью встроенных функций EXCEL, а также инструментов Пакета анализа были вычислены точечные характеристики выборок: выборочные средние, исправленные дисперсии, исправленные средние квадратические отклонения.
Для первой выборки объемом 30 они составили:
Хср1 = 30.44667; S21=19.845333; S1=4.45481.
Для второй выборки объемом 30 характеристики таковы:
Хср2 = 30.18333; S22= 12.98557; S2= 3.60355.
При расчетах характеристик разными способами результаты совпадают.
С помощью инструмента Гистограмма пакета Анализ данных была проведена группировка исходных данных по интервалам и построена совмещенная диаграмма двух выборок, которая наглядно показала, что данные скорее согласуются, чем расходятся, а распределение выборок близко к нормальному.
Для подтверждения этого предположения была выдвинута гипотеза о равенстве дисперсий. Проверка этой гипотезы по критерию Фишера подтвердила равенство дисперсий. Проверку делали двумя способами: вручную рассчитав статистику и критическое значение и получив расчет при помощи инструмента из пакета Анализ данных.
Результаты совпали: т.к. F = 1,52826 < 1.99426 = Fкритическое, нулевая гипотеза о равенстве дисперсий принимается.
Далее была проверена гипотеза о равенстве генеральных средних. Применялся двухвыборочный t- тест с одинаковыми дисперсиями, использующий распределение Стьюдента. В результате расчетов сделан вывод: так как 0,251724 = │t│< tкр = 2,17146, нулевая гипотеза принимается, средние значения генеральных совокупностей, из которых сделаны выборки, равны.
Список литературы
1. А.С. Солодовников, В.А, Бабайцев, А.В. Браилов «Математика в экономике. Часть 3. Теория вероятностей и математическая статистика». – М.: Финансы и статистика, 2008.
2. В.Я. Гельман. Решение математических задач методами Excel: Практикум. – СПб.: Питер, 2003.
3. О.А. Сдвижков. Математика в Excel 2003. – М.: СОЛОН-Пресс, 2005.
4. М.Р. Мидлтон. Анализ статистических данных с использованием Microsoft Excel для Office XP. – М.: БИНОМ. Лаборатория знаний, 2012.
5. Хорст-Дитер Радке. «Подготовка и презентация статистических данных в Microsoft Excel. – М.: НТ Пресс, 2008.
6. И.Э. Гурьянова «Учебно-методические рекомендации для чтения лекций по теории вероятностей и математической статистике». Учебно-методическое пособие для преподавателей. Для бакалавров направления 080100.62 «Экономика». – М.: ФГОБУ ВПО «Финансовый университет при Правительстве Российской Федерации», кафедра «Теория вероятностей и математическая статистика», 2013. - 155 с.
Приложение