Теорема Коши.
Если порядок конечной группы делится на простое число p, то в ней имеется элемент порядка p.
Прежде чем переходить к доказательству этой теоремы, отметим, что если g¹e и 
, где p - простое число, то порядок g равен p. В самом деле, если m - порядок g, то p делится на m, откуда m=1 или m=p. Первое из этих равенств невозможно по условиям выбора g.
Индукция, с помощью которой проводится доказательство теоремы, основана на следующей лемме
Лемма.
Если некоторая факторгруппа G/H конечной группы G имеет элемент порядка p, то тем же свойством обладает и сама группа G.
Доказательство леммы.
Пусть 
- элемент порядка p. Обозначим через m порядок элемента 
. Тогда 
и значит m делится на p. Но тогда 
- элемент порядка p.
Доказательство теоремы Коши.
Зафиксируем простое число p и будем проводить индукцию по порядку n группы G. Если n=p, то G»Z/pZ и теорема верна. Пусть теорема уже доказана для всех групп порядка меньше n и 
, причем n делится на p.
Рассмотрим последовательно несколько случаев
1. G содержит собственную (то есть не совпадающую со всей группой и нетривиальную) подгруппу H, порядок которой делится на p. В этом случае порядок H меньше n и по предположению индукции имеется элемент 
порядка p. Поскольку 
в этом случае теорема доказана.
2. G содержит собственную нормальную подгруппу. Если ее порядок делится на p, то по 1 теорема доказана. В противном случае на p делится порядок факторгруппы G/H и теорема в этом случае следует из доказанной выше леммы.
3. Если G - коммутативна, то возьмем любой 
. Если порядок g делится на p, то теорема доказана по 1, поскольку Z(g)ÌG. Если это не так, то, поскольку в коммутативной группе все подгруппы нормальны, теорема доказана по 2.
4. Остается рассмотреть случай, когда порядки всех собственных подгрупп G не делятся на p, группа G проста (то есть не имеет собственных нормальных подгрупп) и не коммутативна. Покажем, что этого быть не может. Поскольку центр группы G является нормальной подгруппой и не может совпадать со всей группой, он тривиален. Поэтому G можно рассматривать как группу преобразований сопряжения на множестве G. Рассмотрим разбиение множества G на классы сопряженных элементов: 
. Здесь отдельно выделен класс 
и классы неединичных элементов. Стабилизатор St(g) элемента g¹ e представляет собой подгруппу группы G, не совпадающую со всей группой. В самом деле, если St(g) = G, то g коммутирует со всеми элементами из G и потому gÎZ(g) = {e}. Значит, порядок этой подгруппы не делится на p, а потому 
делится на p: 
. Но тогда 
- не делится на p, что не соответствует условию.
Замечание.
Если число p не является простым, то теорема неверна даже для коммутативных групп. Например, группа 
порядка 4 коммутативна, но не является циклической, а потому не имеет элементов порядка 4.
Теорема о подгруппах коммутативной группы.
Для конечной коммутативной группы G справедлива теорема обратная к теореме Лагранжа: если m - делитель порядка группы, то в G имеется подгруппа порядка m.
Доказательство.
Проведем индукцию по порядку n группы G. Для n = 2 теорема очевидна. Пусть для всех коммутативных групп порядка < n теорема доказана. Пусть простое p делит m. По теореме Коши в G имеется циклическая подгруппа S порядка p. Так как G коммутативна, S - нормальная подгруппа. В факторгруппе G/S используя предположение индукции выберем подгруппу K порядка m/p.Если 
естественный гомоморфизм, то 
- подгруппа G порядка m.
Замечание.
Для некоммутативных групп данная теорема неверна. Так, например, в группе 
четных перестановок степени 4, которая имеет порядок 12, нет подгрупп шестого порядка.