Физическая сторона задачи




В пределах упругих деформаций нормальное напряжение σ,

(1 МПа = 106 Па) прямо пропорционально относительной продольной деформации. Эта зависимость выражает закон Гука при растяжении и сжатии стержня:

 

(8)

 

где Емодуль нормальной упругости (модуль упругости первого рода или модуль Юнга), Па.

Модуль нормальной упругости определяется опытным путем и зависит от материала; характеризует способность материала сопротивляться упругим деформациям.

Для однородного стержня с учетом принимаемой гипотезы плоских сечений внутренние усилия распределены равномерно по площади поперечного сечения.

 

Решим совместно формулы (1) и (8), получим:

 

(9)

где Е = const;

ε = const.

 

ε = const принимаются на основании гипотезы плоских сечений: два любых поперечных сечения остаются плоскими и параллельными между собой после деформации, но удлиняются (или сближаются) друг от друга на некоторую величину; на такую же величину удлиняется (укорачивается) каждое продольное волокно стержня.

Из формулы (9) определим нормальное напряжение σ, :

(10)

 

где Nz - продольна сила, возникающая в поперечном сечении стержня, в котором определяется нормальное напряжение, Н;

А - площадь поперечного сечения стержня, в котором определяется напряжение, м2.

Таким образом, в любой точке поперечного сечения стержня возникает нормальное напряжение σ, расположенное перпендикулярно к плоскости поперечного сечения. Знак нормального напряжения совпадает со знаком продольной силы в этом поперечном сечении. Нормальные напряжения равномерно распределены по площади поперечного сеченияи одинаковы по величине и знаку. Следовательно, все точки поперечного сечения равноопасны (рисунок 1.3).

 

Растяжение Сжатие
   
       

 

Рисунок 1.3 - Нормальные напряжения σ в поперечном сечении стержня

 

Для участка стержня с постоянным поперечным сечением и постоянным законом изменения продольной силы нормальные напряжения остаются постоянными по площади поперечного сечения и по длине участка. Следовательно, нормальные напряжения сохраняются неизменными для всех точек объема, занимаемого участком бруса. Такое напряженное состояние называется однородным.

Закон распределения нормальных напряжений в поперечном сечении стержня изображается графиком, показывающем изменением их по высоте поперечного сечения. Такой график называется эпюрой нормальных напряжений (рисунок 1.3).

Деформация стержня при растяжении и сжатии выражается в изменении его длины и поперечных размеров. Интенсивность деформации при растяжении или сжатии характеризуется относительным удлинением или укорочением.

С учетом формул (7) и (10) получаем:

 

(11)

 

Произведение ЕА -называется жесткостью поперечного сечения стержня при растяжении и сжатии. Жесткость характеризует способность сечения сопротивляться упругим деформациям.

Абсолютную деформацию Δ l стержня или участка стержня длиной l (абсолютное удлинение или укорочение) получим, просуммировав по всей длине относительные удлинения его элементарных длин.

Рассмотрим стержень, жестко закрепленный с одной стороны, длиной l. Стержень нагружен сосредоточенной растягивающей силой F.

Выделим участок ab длиной dz, расположенный на расстоянии z от жесткой заделки. В результате деформации участок длиной dz удлинится на величину ∆dz (рисунок 1.4).

Рисунок 1.4 – Абсолютная деформация стержня при растяжении

 

Вследствие равномерного распределения напряжений по сечению удлинение для всех элементарных отрезков, взятых на участке dz, оказывается одинаковым.

Абсолютная деформация участка стержня длиной dz равна:

 

(12)

 

Тогда абсолютная деформация стержня Δ l, м определяется по формуле:

(13)

где Nz – продольна сила, возникающая в любом поперечном сечении стержня на рассматриваемом участке, Н;

l – длинарассматриваемого участка стержня, м;

Е – модуль продольной упругости (модуль упругости первого рода или модуль Юнга), Па;

А – площадь поперечного сечения стержня на рассматриваемом участке, м2.

Если в пределах участка стержня длиной длины l усилие Nz и жесткость поперечного сечения ЕА постоянны, то абсолютное удлинение участка Δl, м определяется как

 

(14)

Абсолютная деформация стержня Δl, м, состоящего из несколько участков, равна алгебраической сумме перемещений (абсолютных деформаций) отдельных участков стержня и определяется по формуле:

 

(15)

 

где n – количество участков.

Для обеспечения надежной работы и долговечности деталей машин, конструкций и сооружений проводятся различные расчеты. Наиболее распространенными являются расчеты на прочность и жесткость.

Расчет на прочность

Напряжение, при котором материал разрушается или в нем возникают заметные пластические деформации, называется предельным напряжением пред). Предельное напряжение выбирается в зависимости от материала и требований к конструкциям:

- для пластичных материалов предельным напряжением при растяжении (сжатии) является предел текучести (физический σ Т или условный σ0,2);

- для хрупких материалов - предел прочности при растяжении σвр и предел прочности при сжатии σвс (при этом σвс > σвр).

Отношение предельного напряжения σпред к максимальному расчетному напряжению σmax, возникающему в элементе конструкции при его нагружении, называется коэффициентом запаса (n) и определяется по формуле:

 

(16)

 

Из условия надежности работы деталей и конструкций величину максимального напряжения, возникающего в опасном (наиболее напряженном) сечении бруса, необходимо ограничивать некоторыми значениями. Напряжение, при котором обеспечивается безопасная работа конструкции, называется допускаемым напряжением adm). Допускаемое напряжение зависит от вида материала.

Допускаемое напряжение равно отношению предельного напряжения к нормативному коэффициенту запаса прочности

(17)

 

где nadm – нормативный (допускаемый) коэффициент запаса прочности, зависящий от вида рассчитываемой конструкции, условий ее работы, точности расчета, свойств материала

Условие прочности выражается неравенством:

 

(18)

 

где σmax - наибольшее расчетное нормальное напряжение;

σadm - допускаемое нормальное напряжение.

Для пластичных материалов:

- наибольшие нормальные напряжения при растяжении и сжатии соответственно равны между собой:

(19)

 

- допускаемое нормальное напряжение при растяжении и сжатии одинаково по величине:

 

(20)

 

где σТ – предел текучести материала;

nТadm – нормативный коэффициент запаса прочности по отношению к пределу текучести (1,5…2,5).

Для хрупких материалов:

 

(21)

(22)

 

где σрmax, σсmax – наибольшие расчетные растягивающие и сжимающие нормальные напряжения соответственно;

σрadm, σсadm – допускаемые нормальные напряжения при растяжении и сжатии соответственно.

Причем,

, (23)

, (24)

 

где - предел прочности при растяжении;

- предел прочности при сжатии;

nвadm - нормативный коэффициент запаса прочности по отношению к пределу прочности (2,5…5).

Прочность элемента конструкции обеспечивается, если наибольшее напряжение, возникающее в нем, не превышает допускаемого. Наибольшее расчетное нормальное напряжение σmax считается неопасным, если оно превышает допускаемое не более чем на 5 %. Если расчетное напряжение значительно ниже допускаемого, то это свидетельствует о нерациональности конструкции.

В зависимости от поставленной задачи различают следующие виды расчета на прочность:

- проверочный расчет (проверка расчетного напряжения в стержне)

 

(25)

 

- проектный расчет ( подбор размеров поперечного сечения стержня)

 

(26)

- определение допускаемого значения продольной силы

 

(27)

 

Расчет на жесткость

Для нормальной работы некоторых конструкций необходимо, чтобы деформации их элементов не превышали допускаемой величины.

Условие жесткости стержня выражается неравенством:

(28)

 

где Δl – абсолютная деформация стержня, м;

Δladm – допускаемая величина абсолютной деформации стержня.

В зависимости от поставленной задачи различают следующие виды расчета на жесткость:

- проверочный расчет

(29)

 

- проектный расчет

(30)

 

Формулы для расчета площади различных типов сечений приводятся в справочной литературе. Для прокатных профилей (сечений типа: двутавр, швеллер, уголок) численные значения площади поперечных сечений в зависимости от номера профиля (размера) приводятся в сортаменте (ГОСТе).

 

 



Поделиться:




Поиск по сайту

©2015-2024 poisk-ru.ru
Все права принадлежать их авторам. Данный сайт не претендует на авторства, а предоставляет бесплатное использование.
Дата создания страницы: 2018-12-21 Нарушение авторских прав и Нарушение персональных данных


Поиск по сайту: