Передаточные функции дискретных систем
Передаточная функция дискретной системы определяется как отношение z-изображений выходной и входной величин при нулевых начальных условиях:
;
.
Передаточные функции дискретной системы при нулевом значении флюктуационной составляющей определяются выражениями
; (1)
. (2)
Если в системе используется фиксатор, то передаточная функция приведенной непрерывной части системы определяется выражением
,
где ─ передаточная функция последовательного соединения фиксатора и формирующего фильтра.
;
.
Умножение изображения по Лапласу на соответствует задержке оригинала на величину Т. С учетом теоремы сдвига и обозначения
(3)
получим
(4)
─ определяется по таблицам z - изображений.
Разностные уравнения
Разностные уравнения определяют связь между дискретными значениями выходной и входной величин в тактовых точках.
Чтобы составить разностное уравнение, надо представить дискретную передаточную функцию в следующем виде:
. (5)
Если ─ значение выходной величины, а
─ входной в виде
z-изображения, то связь между ними определяется выражением
. (6)
Подставим (5) в (6):
(7)
Применим к левой и правой частям уравнения (7) теорему обращения. С учетом теоремы запаздывания оригинала можно записать
, (8)
где ;
.
Из уравнения (8) можно определить значения оригинала в тактовых точках:
. (9)
Уравнение (9) является разностным уравнением, определяющим связь между входной и выходной величинами в тактовых точках.
Операторный коэффициент передачи дискретной системы
Для составления операторного коэффициента передачи вводится оператор запаздывания – с.
Действие его на временную функцию приводит ее к сдвигу по времени на величину Т:
;
;
…………………………
.
При использовании оператора с разностное уравнение записывается в виде
,
где
.
Чтобы перейти от дискретной ПФ к операторному коэффициенту передачи, необходимо сделать замену:
.
Комплексный коэффициент передачи дискретной системы
Комплексный коэффициент передачи дискретной системы (частотную передаточную функцию) можно получить из передаточной функции дискретной системы путем замены :
.
Комплексный коэффициент передачи дискретной системы определяется как отношение комплексных амплитуд управляемой величины Y(kT) и задающего воздействия в тактовых точках kT. По формированию значений выходного процесса в тактовых точках дискретная система эквивалентна непрерывной с комплексным коэффициентом передачи Hд(jw).
Комплексный коэффициент передачи является периодической функцией переменной с периодом изменения, равным
.
Устойчивость дискретных систем
Устойчивость дискретной системы связана с расположением полюсов ее передаточной функции на комплексной плоскости. Если все полюса расположены в левой полуплоскости, система устойчива. Таким образом, заменив в передаточной функции H(z) z на esT и решив характеристическое уравнение, можно определить устойчивость.
При переходе от s-плоскости к z-плоскости левая полуплоскость плоскости s трансформируется в круг единичного радиуса. Поэтому дискретная система устойчива, если полюсы ее передаточной функции H(z) расположены внутри окружности единичного радиуса, т.е. удовлетворяют условию
|zi| < 1, i = 1,2… n,
где zi ─ корни характеристического уравнения:
A(z) = an zn + an-1z n-1 + …+ a0 = 0.
Характеристическое уравнение составляется путем приравнивания к нулю знаменателя передаточной функции:
.
Для определения устойчивости дискретных систем используют алгебраические и частотные критерии.
Алгебраический критерий состоит в проверке выполнения системы неравенств, составленных из коэффициентов характеристического уравнения.
При n = 1: .
При n = 2: .
При n=3 указанная система неравенств принимает вид
Частотный критерий (критерий Найквиста): если годограф комплексного коэффициента передачи разомкнутой системы при изменении частоты от 0 до 2π/Т не охватывает точку c координатами (-1; j0), то система устойчива.
Проанализируем устойчивость системы, представленной структурной схемой (рис.1).
Рис.1. Структурная схема дискретной системы.
Передаточная функция от воздействия к ошибке
,
Характеристическое уравнение:
.
Учитывая общую форму записи характеристического уравнения ,
найдем коэффициенты
Условие устойчивости для систем с n = 1:
Таким образом, в дискретной системе накладываются ограничения на период дискретизации Т и на коэффициент усиления Kv.
Непрерывная система с одним интегратором не имеет таких ограничений.
Пусть при t = 0, а на выходе интегратора имеется напряжение U, равное х(0); тогда при t = 0 получим:
– на входе интегратора;
– на выходе интегратора.
Соответственно
,
а через такт, при t = T:
График зависимости х(t) приведен на рис.2.
Рис.2. Графики изменения ошибки в переходном режиме.