Понятие устойчивости, асимптотической устойчивости и неустойчивости по Ляпунову.

Введение

Одной из основных задач теории автоматического регулирования является изучение динамических процессов, происходящих в автоматических системах. Автоматические системы при нормальной эксплуатации должны поддерживать определенный режим работы объекта регулирования при действии на него многих возмущающих факторов. Такое поведение может быть достигнуто лишь в системах автоматического регулирования, обладающих устойчивостью по отношению к этим воздействиям. Устойчивость системы означает, что малое изменение входного сигнала или какого-нибудь возмущения, начальных условий или параметров не приведут к значительным отконениям выходного сигнала. Это определение раскрывает физический смысл понятия устойчивости.

Теория устойчивости, основоположниками которой являются великий русский ученый А.М. Ляпунов и великий французский ученый А.Пуанкаре, представляет собой важный раздел прикладной математики. Создателями современной теории устойчивости являются русские ученые Н.Г. Четаев, Е.А. Барбашин, Н.П. Еругин, Н.Н. Красовский.

Понятие устойчивости, асимптотической устойчивости и неустойчивости по Ляпунову.

Рассмотрим задачу Коши для нормальной системы дифференциальных уравнений

x’ = f (t, x)

(1)

с начальными условиями x (t₀ ) = x₀ (2)

где x = (x₁, x₂,..., x_n) - n - мерный вектор; t Î I = [t₀, + ¥ [ - независимая переменная, по которой производится дифференцирование;

f (t, x) = (f₁ (t, x), f₂ (t, x),..., f_n (t, x)) - n - мерная вектор - функция.

Комментарии к задаче Коши (1), (2). Для простоты восприятия эту задачу можно сначала трактовать как задачу Коши для скалярного дифференциального уравнения первого порядка вида x’= f (t, x) с начальным условием x (t₀) = x₀. С целью упрощения все рисунки п. 1⁰,если нет специальных оговорок, приводится для случая n = 1.

x     0 t Рис.1

Так как задача теории устойчивости впервые возникла в механике, то переменную t принято интерпретировать как время, а искомую вектор-функцию x (t) - как движение точки в зависимости от времени в пространстве Rⁿ⁺¹ (рис.1)

Пусть задача Коши (1), (2) удовлетворяет условиям теоремы существования и единственности. Тогда через каждую точку (t₀ , x₀ ) области единственности решений проходит только одна интегральная кривая. Если начальные данные (t₀, x₀) изменяются, то изменяется и решение. Тот факт, что решение зависит от начальных данных, обозначается следующим образом: x (t) = x (t; t₀, x₀). Изменение этого решения в данной математической модели с изменением начальных данных (t₀, x₀) приводят к существенному изменению решения x (t; t₀, x₀), приводит к тому, что такой моделью нельзя пользоваться, поскольку начальные данные (t₀, x₀) получаются из опыта, а изменения не могут быть абсолютно точными. Естественно, что в качестве математической модели пригодна лишь та задача Коши, которая устойчива к малым изменениям начальных данных.

Определим понятие устойчивости, асимптотической устойчивости и неустойчивости в смысле Ляпунова. Для этого отклоение решения x (t) = x (t; t₀, x₀), вызванное отклонением D x₀ начального значения x₀, будем записывать следующим образом:

| x (t; t₀, x₀ + D x₀ ) - x (t) | = | x (t; t₀, x₀ + D x₀ ) - x (t; t₀, x₀ ) |.

Определение 1. Решение x (t) = x (t; t₀, x₀) системы (1) называется устойчивым по Ляпунову в положительном направлении (или устойчивым), если оно непрерывно по x₀ на интервале I = = [ t₀, + ¥ [, т.е. " e > 0 $ d > 0 такое, что " D x₀

| D x₀ | £ d Þ | x (t; t₀, x₀ + D x₀ ) - x (t) | £ e " t ³ t₀.

Если, кроме того, отклонение решения x (t) стремится к нулю при t ® + ¥ для достаточно малых D x₀, т.е. $ D > 0 " D x₀.

| D x₀ | £ D Þ | x (t; t₀, x₀ + D x₀ ) - x (t) | ® 0, t ® + ¥. (3)

то решение x (t) системы (1) называется асимптотически устойчивым в положительном направлении (или асимптотически устойчивым).

Аналогично определяются различные типы устойчивости решения в отрицательном направлении.

Комментарий к определению 1. 1) Геометрически устойчивость по Ляпунову решение х (t) можно интерпритировать следующим образом (рис.1): все решения x (t; t₀, x₀ + D x₀ ), близкие в начальный момент t₀ к решению x (t) (т.е. начинающиеся в пределах d - трубки), не выходят за пределы e - трубки при всех значениях t ³ t₀.

x     0 t Рис.2

2) Асимптотическая устойчивость есть устойчивость с дополнительным условием (3): любое решение x₁ (t), начинающееся в момент t₀ в D - трубке, с течением времени неограниченно приближается к решению x (t) (рис.2). Трубка радиуса D называется областью притяжения решения x (t). Решение x₂ (t), начинающееся при t = t₀ за пределами области притяжения, но в пределах d - трубки, не покидает e - трубку, хотя может и не приближаться к решению x(t).

Определение 2. Решение x (t) = x (t; t₀, x₀) системы (1) называется неустойчивып по Ляпунову в положительном направлении (или неустойчивым), если оно не является устойчивым в положительном направлении.

Аналогично определяется неустойчивость в отрицательном направлении.

Комментарий к определению 2. Геометрически неустойчивость по Ляпунову означает, что среди решений, близких в начальный момент t₀ к решению х (t), найдется хотя бы одно, которое в некоторый момент t₁ (свой для каждого такого решения) выйдет за пределы e - трубки (рис.3).

Приведем примеры из механики, иллюстрирующие определения различных типов устойчивости для одномерного случая, т.е. n = 1.

Рассмотрим маятник, состоящий из точечной массы m, укрепленной на невесомом стержне длиной l (рис.4). Выведем маятник из состояния I, отклонив стержень на угол a; тогда, как известно из опыта, он будет стремиться занять вновь положение I. Если пренебречь сопротивлением окружающей среды, то маятник будет колебаться возле положения I сколь угодно долго с амплитудой, равной начальному отклонению, - это модель устойчивого положения равновесия. Если же учитывать сопротивление окружающей среды, то амплитуда колебаний маятника будет уменьшаться и в итоге он снова займет положение I - это модель асимптотически устойчивого положения равновесия. Если маятник находится в положении II, то малейшее его смещение приведет к удалению маятника от состояния II - это модель не устойчивого положения равновесия.

x

0 t

Рис.3 Рис.4

Исследование устойчивости произвольного решения x (t) системы (1) всегда можно свести к исследованию устойчивости нулевого решения некоторой преобразованной системы. Действительно, в системе (1) произведем подстановку y (t) = x - x (t). Тогда получим систему

y’ = F (t, y). (4)

где F (t, y) = f (t, y (t) + x (t)) - f (t, x (t)), F (t, 0) º 0 " t ³ t₀.

Решению x (t) системы (1) соответствует нулевое решение y (t) º 0 системы (4).

В дальнейшем будем предполагать, что система (1) имеет нулевое решение, т.е. f (t, 0) = 0 " t ³ t₀, и ограгничимся исследованием устойчивости нулевого решения. Переформулируем определения различных типов устойчивости для нулевого решения x (t) º 0 системы (1).

Определение 3. Нулевое решение x (t) º 0 системы (1) называется устойчивым по Ляпунову в положительном направлении (или устойчивым), если " e > 0 $ d = d (e) > 0 такое, что " x₀

| D x₀ | £ d Þ | x (t; t₀, x₀ ) | £ e " t ³ t₀.

Если кроме того,

$ D > 0 " x₀ | D x₀ | £ D Þ | x (t; t₀, x₀ ) | ® 0, t ® + ¥,

то решение x (t) º 0 системы (1) называется асимптотически устойчивым в положительном направлении (или асимптотически устойчивым).

Определение 4. Нулевое решение x (t) º 0 системы (1) называется неустойчивым по Ляпунову в положительном направлении (или неустойчиво), если оно не является устойчивым в положительном направлении, т.е.

$ e > 0 $ t₁ > t₀ " d > 0 x₀ ¹ 0 | x₀ | £ d Þ | x (t; t₀, x₀ ) | > e.

Геометрическая интерпритация устойчивости, асимптотической устойчивости и неустойчивости нулевого решения x (t) º 0 системы (1) дана соответственно на рис.5-7.

x     t     Рис.5

x     t     Рис.6

x     t     Рис.7