Устойчивость решения автономной системы. Устойчивость решения системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами.

Система обыкновенных дифференциальных уравнений называется автономной (или стационарной, или консервативной, или динамической), если независимая переменная не входит явно в систему уравнений.

Нормальную автономную систему n - го порядка можно записать в векторной форме:

dx / dt = f (x). (5)

Рассмотрим задачу Коши для системы (5) с начальными условиями (2). В дальнейшем предполагаем, что задача Коши (5), (2) удовлетворяет условиям теоремы существования и единственности.

Пусть x = x (t) - есть решение системы (5). Направленная кривая g, которую можно параметрически задать в виде x_i = x_i (t) (i = 1,..., n), называется траекторией (фазовым графиком) системы (5) или траекторией решения x = x (t). Пространство Rⁿ с координатами (x₁,..., x_n), в котором расположены траектории системы (5), называется фазовым пространством автономной системы (5). Известно, что интегральные кривые системы (5) можно параметрически задать в виде t = t, x₁ = x₁ (t),..., x_n = x_n (t). Следовательно, интегральная кривая принадлежит пространству Rⁿ⁺¹ с координатами (t, x₁ , x₂,..., x_n), а траектория является проекцией интегральной кривой на пространство Rⁿ параллельно оси t. Проиллюстрируем это для случая n = 2, т.е. когда Rⁿ⁺¹ - трехмерное пространство, а фазовое пространство Rⁿ - двумерная плоскость. На рис.8,а изображена интегральная кривая, заданная параметрическими уравнениями t = t, x₁ = x₁ (t), x₂ = x₂ (t), на рис.8,б - ее проекция на плоскость, т.е. траектория, заданная параметрическими уравнениями x₁ = x₁ (t), x₂ = x₂ (t). Стрелкой указано направление возрастания параметра t.

x2 x2     0 t 0 x1     x1 а) Рис.8 б)

Определение 5. Точка (a₁, a₂,..., a_n) называется точкой покоя (положением равновесия) автономной системы (5), если правые части f₁, f₂,..., f_n системы (5) обращаются в этой точке в нуль, т.е. f (a) = 0, где a = (a₁ , a₂,..., a_n), 0 = (0, 0,..., 0).

Если (a₁,..., a_n) - точка покоя, то система (5) имеет постоянное решение x (t) = a. Как известно, исследование устойчивости любого, а значит, и постоянного решения a можно свести к исследованию устойчивости нулевого решения. Поэтому далее будем считать, что система (5) имеет нулевое решение x (t) º 0, т.е. f (0) = 0, и точка покоя совпадает с началом координат фазового пространства Rⁿ. В пространстве Rⁿ⁺¹ точке покоя соответствует нулевое решение. Это изображено на рис.8 для случая n = 2.

Таким образом, устойчивость нулевого решения системы (5) означает устойчивость начала координат фазового пространства системы (5), и наоборот.

Дадим геометрическую интерпретацию устойчивого, асимптотически устойчивого и неустойчивого начала плоскости, т.е. когда n = 2. Для этого следует спроектировать аналоги рис.5-7 в двумерном случае на фазовую плоскость R², причем проекциями e - трубки и d - трубки являются окружности с радиусами e и d. Начало x = 0 устойчиво, если все траектории, начинающиеся в пределах d - окружности, не покидают e - окружность " t ³ t₀ (рис.9); асимптотически устойчиво, если оно устойчиво и все траектории, начинающиеся в области притяжения D, стремятся к началу (рис.10); неустойчиво, если для любой e - окружности и всех d > 0 существует хотя бы одна траектория, покидающая ее (рис.11).

Нормальная система линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами, имеющая вид

dx / dt = A x, (6)

где A - постоянная матрица размера n ´ n, является частным случаем системы (5). Следовательно, для этой системы справедливы все сделанные выше утверждения об автономных системах.

x2       0 x1     Рис.9

x2   0 x1     Рис.10

x2       0 x1     Рис.11