Частотные критерии устойчивости получили наиболее широкое практическое применение, так как, во-первых, они позволяют судить об устойчивости замкнутой системы по более простой передаточной функции системы W (s); во-вторых, анализ устойчивости можно выполнять и по экспериментально определенным частотным характеристикам; в-третьих, с помощью частотных характеристик можно судить и о качестве переходных процессов в системе.
А.В. Михайлов первым предложил использовать развитые в радиотехнике Найквистом частотные методы для анализа устойчивости линейных систем регулирования. Сформулированным им в 1938 г. критерий устойчивости назвали его именем. Рассмотрим существо этого критерия.
Пусть характеристическое уравнение замкнутой системы имеет вид
D (l) = l n + a1 l n-1 + a2 l n-2 +... + an = 0. (13)
Зная его корни l 1, l 2,..., l n, характеристический многочлен для уравнения (13) запишем в виде
D (l) = (l - l 1) (l - l 2)... (l - l n). (14)
            
Im Im
0 Re 0 Re
а) б)
|
Рис.12. Векторное изображение сомно-жителей характерис-тического уравнения замкнутой системы на плоскости:
а - для двух корней l и l i;
б - для четырех корней l 1, l ‘1, l 2, l ‘2
Графически каждый комплексный корень l можно представить точкой на плоскости. Поэтому, в свою очередь, каждый из сомножителей уравнения (14) можно представить в виде разности двух векторов (l - l i), как это показано на рис.12,а. Положим теперь, что l = j w; тогда определяющей является точка w на мнимой оси (рис.12,б). При изменении w от - ¥ до + ¥ векторы j w - l 1 и j w - l ‘1 комплексных корней l и l ‘1 повернуться против часовой стрелки, и приращение их аргумента равно + p, а векторы j w - l 2 и j w - l ‘2 повернутся по часовой стрелке, и приращение их аргумента равно - p. Таким образом, приращение аргумента arg(j w - l i) для корня характеристического уравнения l i , находящегося в левой полуплоскости, составит + p, а для корня, находящегося в правой полуплоскости, - p. Приращение результирующего аргумента D arg D(j w) равно сумме приращений аргументов его отдельных сомножителей. Если сре1ди n корней характеристического уравнения m лежит в правой полуплоскости, то приращение аргумента составит
D arg D(j w) = (n - m) p - m p = (n - 2m) p. (15)
- ¥ < w < ¥ для левой для правой
полуплоскости полуплоскости
Отметим теперь, что действительная часть многочлена
D (j w) = (j w)n + a1 (j w)n-1 + a2 (j w)n-2 +... + an (16)
содержит лишь четные степени w, а мнимая его часть - только нечетные, поэтому
arg D (j w) = - arg D (-j w), (17)
и можно рассматривать изменение частоты только на интервале w от 0 до ¥. В этом случае приращение аргумента годографа характеристического многочлена
D arg D(j w) = (n - 2m) p / 2. (18)
0 £ w < ¥
Если система устойчива, то параметр m = 0, и из условия (18) следует, что приращение аргумента
D arg D(j w) = n p / 2. (19)
0 £ w < ¥
На основании полученного выражения сформулируем частотный критерий устойчивости Михайлова: для того чтобы замкнутая система автоматического регулирования была устойчива, необходимо и достаточно, чтобы годограф характеристического многочлена в замкнутой системе (годограф Михайлова) начинался на положительной части действительной оси и проходил последовательно в положительном направлении, не попадая в начало координат, n квадрантов комплексной плоскости (здесь n - порядок характеристического уравнения системы).
   
j V’ j V’
0 U’ 0 U’
а) б)
|
Рис.13. Примеры годографов Михайлова для различных характеристических уравнений замкнутых систем:
а - устойчивые системы при n = 1 - 6; б - неустойчивые системы при n = 4 и различных параметрах
Соответствующие устойчивым системам годографы Михайлова для уравнений различных порядков построены на рис. 13,а. На рис. 13,б построены годографы Михайлова для неустойчивых систем при n = 4.