Первый этап. Система с отказами

Введение

Теория систем массового обслуживания (СМО) посвящена разработке методов анализа, проектирования и рациональной организации систем, относящихся к различным областям деятельности, таким как связь, вычислительная техника, торговля, транспорт, военное дело. Несмотря на все свое разнообразие, приведенные системы обладают рядом типичных свойств, что позволяет изучать такие системы, используя обобщенные математические модели.

Задача анализа СМО заключается в определении ряда показателей ее эффективности, которые можно разделить на следующие группы:

- показатели, характеризующие систему в целом: число n занятых каналов обслуживания, число обслуженных (λ_b), ожидающих обслуживание или получивших отказ заявок (λ_c) в единицу времени и т.д.;

- вероятностные характеристики: вероятность того, что заявка будет обслужена (P_обс) или получит отказ в обслуживании (P_отк), что все приборы свободны (p₀) или определенное число их занято(p_k), вероятность наличия очереди и т.д.;

- экономические показатели: стоимость потерь, связанных с уходом не обслуженной по тем или иным причинам заявки из системы, экономический эффект, полученный в результате обслуживания заявки, и т.д. Необходимость в использовании экономических показателей связана с противоречивостью влияния выбора ряда показателей на свойства системы.

Часть технических показателей (первые две группы) характеризуют систему с точки зрения потребителей, другая часть - характеризует систему с точки зрения её эксплуатационных свойств. Выбор показателей, улучшающих эксплуатационные свойства системы, ухудшает систему с точки зрения потребителей и наоборот. Использование экономических показателей позволяет разрешить указанное противоречие и оптимизировать систему с учетом обеих точек зрения.

В ходе выполнения курсового проекта изучаются три типа простейших систем массового обслуживания: системы с отказами и два типа смешанных систем - с ограничениями на время пребывания в очереди и с ограничениями на длину очереди. Это системы разомкнутого типа, бесконечный источник заявок в систему не входит. Входной поток заявок, потоки обслуживания и ожидания этих систем являются простейшими, то есть пуассоновскими стационарными потоками.

Многоканальная система с отказами.

Система состоит из одного узла обслуживания, содержащего n каналов (приборов), каждый из которых может обслуживать только одну заявку.

Все каналы обслуживания одинаковой производительности и для модели системы неразличимы. Если заявка поступила в систему и застала свободным хотя бы один канал, она мгновенно начинает обслуживаться. Если в момент поступления заявки в систему все каналы заняты, то заявка покидает систему не обслуженной.

Смешанные системы

· Система с ограничением на длину очереди состоит из накопителя (очереди) и узла обслуживания. Заявка покидает очередь и уходит из системы, если в накопителе к моменту ее появления уже находятся m заявок (m - максимально возможное число мест в очереди). Если заявка поступила в систему и застала свободным хотя бы один канал обслуживания, она мгновенно начинает обслуживаться. Если в момент поступления заявки в систему все каналы заняты, то заявка не покидает систему, а занимает место в очереди. Заявка покидает систему не обслуженной, если к моменту её поступления заняты все места в очереди. Для каждой системы определяется дисциплина очереди. Это система правил, определяющих порядок поступления заявок из очереди в узел обслуживания. Если все заявки и каналы обслуживания равнозначны, то чаще всего действует правило «кто раньше пришел, тот раньше обслуживается».

· Система с ограничением на длительность пребывания заявки в очереди состоит из накопителя (очереди) и узла обслуживания. От предыдущей системы она отличается тем, что заявка, поступившая в накопитель (очередь), может ожидать начала обслуживания лишь ограниченное время Т_ож (чаще всего это случайная величина). Если её время Т_ож истекло, то заявка покидает очередь и уходит из системы не обслуженной.

Для каждой из рассмотренных систем приводится список формул для расчета показателей эффективности.

Сравнение систем проводится на основе сопоставления их показателей эффективности, характеризующих изучаемые системы, как с точки зрения потребителей, так и с точки зрения их эксплуатационных свойств.

Показатели, характеризующие систему с точки зрения потребителей:

· - вероятность обслуживания заявки,

· - время пребывания заявки в системе.

Показатели, характеризующие систему с точки зрения её эксплуатационных свойств:

· - абсолютная пропускная способность системы (среднее число обслуженных заявок в единицу времени),

· - относительная пропускная способность системы,

· k_з - коэффициент загрузки системы.

Часто мероприятия, осуществляемые для повышения показателей эффективности одной группы, приводят к ухудшению показателей другой группы. Чтобы решить указанное противоречие используют экономические показатели, характеризующие систему одновременно с обеих точек зрения. В рассматриваемой работе в качестве основного такого показателя принята величина С.- средняя стоимость обслуживания одной заявки в единицу времени.

Первый этап. Система с отказами

Система с отказами

Результирующие показатели

C_общ

ед. ст.С

ед. ст.

ед. вр.
	3,65	2,35	3,65	0,24	2,76	2,71	0,98	0,92	0,61	1,22
	3,32	2,68	3,32	0,51	2,49	2,63	1,05	0,83	0,54	1,11
	3,10	2,90	3,10	0,66	2,34	2,57	1,09	0,78	0,52	1,04
	3,10	2,90	3,10	0,66	2,34	2,57	1,09	0,78	0,52	1,04
	3,28	2,72	3,28	0,54	2,46	2,62	1,06	0,82	0,55	1,09
	3,28	2,72	3,28	0,54	2,46	2,62	1,06	0,82	0,55	1,09

К вычислению общей стоимости обслуживания заявок в единицу времени

ед. стоим.

ед. стоим.C_общ

ед. стоим.
	1,83	0,47	0,36	0,048	2,71
	1,66	0,54	0,33	0,102	2,63
	1,55	0,58	0,31	0,132	2,57
	1,55	0,58	0,31	0,132	2,57
	1,64	0,54	0,33	0,108	2,62
	1,64	0,54	0,33	0,108	2,62

где

· C_общ - общая (суммарная) стоимость обслуживания всех заявок в единицу времени.

· - среднее число занятых и свободных каналов, соответственно.

· - среднее число заявок, находящихся в очереди (в накопителе).

· λ_с - интенсивность потока не обслуженных заявок (среднее число заявок, получивших отказ в обслуживании, в единицу времени).

· с_к - стоимость эксплуатации одного канала.

· с_пк - стоимость простоя одного канала.

· с_оч - стоимость эксплуатации одного места в накопителе.

· с_отк - стоимость убытков, связанных с уходом заявки из системы, получившей отказ в обслуживании.

Весовые коэффициенты для всех вариантов задания для системы с отказами и обоих типов смешанных систем:

с_к= 0,5 , с_пк= 0,2 , с_оч = 0,1 ,

с_отк = 0,2 ед. стоим.∙ед. врем.

· Ограничения, вводимые для всех вариантов задания:

- число каналов обслуживания не должно быть больше шести.

- среднее время пребывания заявки в смешанных системах не должно превышать среднее время пребывания заявки в оптимальной системе с отказами больше, чем на 25% (рассматриваемое условие совместно с преподавателем может быть откорректировано).

Требуется определить число каналов обслуживания, обеспечивающее в системе с отказами наименьшее значение параметра C - средней стоимости обслуживания одной заявки в единицу времени.

В соответствии с вариантом задания определены параметры системы λ и . Задаваясь значениями n (число каналов обслуживания) от единицы до шести, вычисляются финальные вероятности и в соответствии с ними - показатели эффективности системы. Результаты вычислений представляются в виде таблиц, формы которых приведены в прил. 2, и в виде графиков функций С = С(n), = (n), , = (n), построенных в масштабе в зависимости от n. В качестве оптимального числа каналов следует принять такое значение n, при котором принимает наименьшее значение средняя стоимость С обслуживания одной заявки в единицу времени (с учетом ограничения ). Следовательно, либо точка минимума на графике функции С = С(n), либо = 6, если С = С(n) - монотонно убывающая функция.