Рассмотрим анализ устойчивости нелинейной системы с гладкими нелинейностями из варианта 1. Нелинейный объект задан системой уравнений второго порядка
(5)
Для теоретического анализа устойчивости применим следующий подход. Проведем линеаризацию модели в окрестности заданного состояния и оценим устойчивость полученной линейной модели. Согласно теоремам Ляпунова, устойчивость линейной модели гарантирует устойчивость исходной нелинейной модели в малой окрестности точки линеаризации. Если линейная модель окажется неустойчивой, то и исходная нелинейная модель также неустойчива. Попадание линейной модели на границу устойчивости не позволяет судить об устойчивости исходной нелинейной системы даже в малом. Следует подчеркнуть, что такой подход справедлив лишь для нелинейных систем с гладкими непрерывными нелинейностями.
Обычно модель линеаризуется в области статического режима, который, в данном случае, описывается системой нелинейных алгебраических уравнений
(6)
Примем уровень входного воздействия в точке линеаризации 
. Если при во второе уравнение системы (6) подставить 
, то получим квадратное уравнение вида
,
имеющее два корня: 
и 
. Соответственно, получаются две пары решений системы уравнений (6), имеющие вид 
и 
.
Первое дифференциальное уравнение системы (5) является линейным и в линеаризации не нуждается. Проведем линеаризацию второго уравнения.
Известно, что разложение функции 
в ряд Тэйлора в окрестности точки линеаризации, с сохранением только линейных членов, дает приближенную замену
(8)
где 
- значения переменных 
в точке линеаризации;
- произвольное значение переменной, полученное как результат отклонения от точки линеаризации на величину 
.
Для второго уравнения модели, запишем
.
Тогда разложение в ряд по формуле (8) дает
Учитывая, что в первой точке линеаризации 
, получаем второе уравнение в виде
,
где 
– отклонения от нулевого состояния.
Если в записи вместо отклонений использовать просто 
, то линеаризованная система уравнений приобретает вид
В форме уравнений состояния ее можно записать как
, где 
, 
, 
.
Для анализа устойчивости необходимо сформировать матрицу
вычислить ее определитель, приравнять его к нулю и решить полученное характеристическое уравнение, найдя, таким образом, полюса системы. Если все полюса лежат в левой полуплоскости – линеаризованная система устойчива.
Действуя описанным образом, получаем
.
Уравнение имеет два корня: 
и 
, что соответствует устойчивой системе.
Для второй точки линеаризации (
) аналогичным образом можно получить второе уравнение в виде
.
Для этой точки матрица состояния имеет вид 
, а характеристическое уравнение, соответственно, 
, что соответствует неустойчивой системе.
Таким образом, можно предполагать, что исходная нелинейная система при имеет два статических состояния – устойчивое состояние и неустойчивое состояние 
.
Для проверки теоретических результатов проведем моделирование нелинейной системы с использованием пакета Simulink. Схема набора исходной нелинейной системы по уравнениям (5) представлена на рис. 4. Результаты моделирования – на рис. 5,6, где рис. 5 – фазовый портрет системы, рис. 6 – переходный процесс по переменной 
.
Рис. 4.
Рис. 5 Рис.6
В первом эксперименте моделировалось свободное движение системы из единичных начальных условий по 
и 
. Видно, что система стремится к нулевому статическому состоянию.
В рамках исследования устойчивости системы в окрестности другой точки установившегося режима на рис. 7 показано движение системы по переменной 
из состояния 
. На рис. 8 – из состояния 
.
Рис.7 Рис.8
Видно, что процесс «уходит» от статического состояния. Ниже, на рис. 9,10 показаны фазовые портреты в координатах 
для данных экспериментов.
Рис. 9 Рис. 10
Содержание отчета
4.1. Дифференциальные уравнения, схемы моделирования исследуемого объекта с однозначной нелинейной характеристикой; структурная схема системы с табличными значениями параметров.
4.2. Расчеты по определению положений равновесия нелинейного объекта при 
и 
.
4.3. Фазовые портреты и переходные характеристики п.п. 4.1.- 4.8.
4.4. Показатели качества процессов 
.
4.5. Выводы об устойчивости положений равновесия и выводы по работе.
5. Контрольные вопросы
5.1.Как определить координаты положения равновесия нелинейной системы?
5.2 Может ли отсутствовать положение равновесия в нелинейной системе?
5.3. Как оценить устойчивость положения равновесия?
5.4. Каков характер движения вблизи от устойчивого положения равновесия (привести пример)?
5.5. Как влияет неоднозначность нелинейной характеристики на фазовый портрет системы?
5.6. Как построить фазовый портрет методом изоклин?
Литература
1. Теория автоматического управления. Ч. 1, 2. / Под ред. А. А. Воронова.- М.: Высшая школа, 1986.
2. Теория автоматического управления. Ч. 1, 2. / Под ред. А. В. Нетушила.- М.: Высшая школа, 1983.
3. Алексеев А. А., Имаев Д. Х., Кузьмин Н.Н., Яковлев В. Б. Теория управления: Учеб. / СПб.: Изд-во СПбГТУ «ЛЭТИ», 1999.– 435 с.
4. Справочник по теории автоматического управления / Под ред. А. А. Красовского. - М.: Наука, 1987.- 712 с.
Положения равновесия и устойчивость нелинейных систем
Методические указания по выполнению лабораторной
работы №216 по курсу «Теория автоматического управления»
для студентов направлений 550200 – Автоматизация и управление
и 657900 – Автоматизация технологических процессов и производств (в нефтегазовой отрасли) Института дистанционного обучения
Составитель: Воронин А.В.
Научный редактор: Малышенко А.М.
Рецензент: Громаков Е.И.
Подписано к печати
Формат 60х84/16. Бумага ксероксная.
Плоская печать. Усл. печ. л. 0,93. Уч.- изд. л. 1,25.
Тираж экз. Заказ. Цена свободная.
Изд-во ТПУ, Лицензия ЛТ № 1 от 18.07.94.
634034, Томск, пр. Ленина,30