(1)
Поскольку для стационарных состояний временная зависимость 
, то заменим 
.
Мы имеем систему 4-х уравнений. Для свободного электрона координатная зависимость определяется известным множителем 
, так что волновая функция имеет вид:
(2)
В этом выражении амплитуды 
не зависят от координат. Поэтому действие операторов 
и 
на 
сводится просто к умножению на компоненты 
и 
.
Таким образом, уравнение для свободного электрона имеет вид:
(3)
Под 
понимают следующий столбец:
Применим к обеим частям уравнения (3) оператор 
.
.
В результате получим:
Теперь перед стоят уже не операторы, а числа. При этом все 4 уравнения имеют один и тот же вид 
и т.д. Сократив на 
и т.д., получим
.
Собственные значения энергии свободного электрона из уравнения Дирака имеют вид:
(4)
В классике берут знак 
, так как у свободных частиц энергия не может быть отрицательной. Минимальное значение квадратного корня по абсолютной величине равно 
, так что имеется энергетическая область величиной 
, в которой энергия не может оказаться.
 |
В классической физике все величины меняются непрерывно и поэтому, если энергия определена положительной, то она не может измениться скачкообразно через запрещенную область, и остается положительной.
В квантовой механике энергия может меняться скачкообразно. Для того, чтобы квантовомеханическое описание было полным, необходимо учитывать и состояния с отрицательной энергией. Но состояния эти в природе не наблюдаются.
Для выхода из создавшегося положения Дирак предложил новое определение вакуума. Вакуум по Дираку – состояние материи, в котором все уровни отрицательной энергии заняты и поэтому на них согласно принципу Паули не могут переходить электроны из состояний с положительной энергией. Таким образом, принцип Паули необходим, чтобы релятивистская квантовая теория вообще могла описывать свойства электронов. В этом состоит обоснование принципа Паули с точки зрения релятивистской квантовой механики. В нерелятивистской теории принцип Паули существует просто как дополнительный постулат в задаче многих тел. Теория должна не только объяснять, но и иметь предсказательный характер.
Теория Дирака приводила к следующим эффектам: гамма-квант с энергией 
может в поле ядра выбить электрон из области состояний с отрицательной энергией и передать ему свою энергию. Тогда энергия выбитого электрона будет положительной.
 |
На месте «выбитого» электрона образуется «дырка», которая на фоне электронов с отрицательной энергией будет вести себя как частица с положительным зарядом, а во всем остальном будет эквивалентна электрону (антиэлектрон). Эта частица, предсказанная теорией Дирака, а затем обнаруженная Андерсеном, была названа позитроном 
. Сам рассмотренный процесс был назван рождением электрон-позитронной пары под действием 
-квантов.
Поскольку состояния с меньшей энергией энергетически более выгодны, то свободное состояние с отрицательной энергией со временем может быть занято электроном с положительной энергией и при этом высвобождается энергия в виде -квантов. Этот процесс называется аннигиляцией электро-позитронной пары
Первоначально Дирак ошибочно полагал, что антиэлектроном является протон 
. Спин его 
, заряд 
. Правда масса его почти в 2000 раз больше 
, но этот факт Дирак объяснял кулоновским взаимодействием электронов, заполняющих отрицательные уровни, что было неверно. Кроме того, процесс
противоречит закону сохранения числа нуклонов и лептонов.
Закон сохранения барионного и лептонного чисел. Однако правилами отбора по барионному и лептонному числу не запрещен процесс «нейтрализации».
.
Однако, для свободных частиц сумма масс в правой части этого выражения на 0,8 МэВ больше масс в левой части, то есть имеется энергетический порог.
Из решения уравнения Дирака получается и магнитный момент электрона. Формально уравнение Дирака применимо ко всем частицам со спином , в том числе и к протону и нейтрону. Действительно, основное свойство теории Дирака – появление античастиц было доказано для и 
– антипротон и антинейтрон существуют! Но магнитные моменты и оказались аномальными – величины их не соответствовали значениям, получаемым из уравнения Дирака. Это связано с сильным взаимодействием и с мезонным полем, окружающем нуклоны (с кварковой структурой нуклонов).