О возможностях способов вращения и дополнительного проецирования

Вращением вокруг проецирующих прямых можно решить все четыре основные задачи, решаемые способом дополнительного проецирования. Однако эти решения получаются более громоздкими, поэтому для примера рассмотрим только две из них – первую и третью задачи.

Пример 1 (первая задача). Превратить прямую общего положения т в прямую уровня (рисунок 83).

Повернем прямую т до положения фронтали. За ось вращения примем горизонтально проецирующую прямую i, проходящую через произвольную точку 1 прямой т. при повороте прямой т эта точка будет неподвижна и для поворота прямой останется повернуть лишь вторую ее точку - 2. Так как горизонтальная проекция прямой т в своем новом положении должна быть перпендикулярна линиям связи (см. 4.3), то этим определяется угол поворота точки 2. Построив новые положения проекций точки 2 (21), тем самым определим прямую т в положении фронтали. На виде спереди (фронтальной проекции) отрезок 1-21 прямой т 1 проецируется в натуральную величину, а угол α – истинный угол наклона прямой т к горизонтальной плоскости проекций.

Для поворота прямой до положения горизонтали нужно за ось вращения принять фронтально проецирующую прямую, проведенную через произвольную точку заданной прямой.

Пример 2 (третья задача). Превратить плоскость общего положения Д (ΔАВС) в проецирующую плоскость (рисунок 84).

Повернем плоскость Д, например, до положения фронтально проецирующей плоскости. Для этого ее нужно повернуть вокруг горизонтально проецирующей прямой i так, чтобы горизонтали плоскости Д стали фронтально проецирующими прямыми. Поскольку при этом на виде сверху (на горизонтальной проекции) некоторая горизонталь h займет положение h 1, параллельное линиям связи, отсюда определится и угол поворота (как угол между «старым» и «новым» положениями горизонтали). Так как ось вращения проходит через одну из вершин треугольника АВС, то на этот угол остается повернуть лишь две оставшиеся вершины – А и С. Новые положения этих вершин А1 и С1 совместно с неподвижной вершиной В определят новое фронтально проецирующее положение плоскости Д. Фронтальные проекции точек плоскости Д расположатся на одной прямой, в которую “выродится” плоскость на виде спереди. Угол α между проекцией плоскости Д и прямой перпендикулярной линиям связи – есть натура угла наклона плоскости Д к горизонтальной плоскости проекций.

Для поворота плоскости Д до положения горизонтально проецирующей плоскости, нужно за ось вращения принять фронтально проецирующую прямую, проведенную через какую-нибудь точку плоскости.

Рассмотрим еще два примера применения способа вращения вокруг проецирующих прямых.

Возьмем на прямой α произвольную точку 1 (не совпадающую с точкой А). Повернем прямую α вокруг горизонтально проецирующей прямой i, проходящей через точку А, до положения фронтали. Так как на виде спереди (фронтальной проекции) в этом случае имеем натуру отрезка А-1, то, отложив на натуре отрезка А-1 отрезок АВ заданной длины е и, произведя обратный поворот, найдем на прямой α проекции искомой точки В. Нужно иметь в виду, что отрезок длиной е можно отложить на прямой α от точки А и в другую сторону.

Пример 4. Повернуть точку М вокруг горизонтально проецирующей прямой i до совмещения ее с плоскостью Б(α // b) (рисунок 86).

При вращении вокруг прямой i точка М будет описывать окружность в горизонтальной плоскости Г. Поэтому точка М окажется в плоскости Б тогда, когда она будет находиться на линии пересечения плоскостей Б и Г, т.е. на горизонтали h плоскости Б. Проведя на виде сверху (горизонтальной проекции) окружность радиуса i М, получим в пересечении ее с горизонтальной проекцией горизонтали h два новых положения точки М – М1 и М2.

В нашем случае горизонталь h пересекает окружность (траекторию вращения точки М) дважды, т.е. задача имеет два решения. Если бы горизонталь h касалась окружности – задача имела бы одно решение, а если бы проходила вне ее – это означало бы отсутствие решения.