Коротко о дифференциальной геометрии




Выпускная квалификационная работа бакалавра

Направление 01.03.02 «Прикладная математика и информатика»

ТЕМА «Геодезические линии на поверхности и в геликоиде»

 

Выполнил студент Стреленко Мария Константиновна

Группа НП-302

Руководитель выпускной квалификационной работы Краснов Владимир Александрович, ассистент, кандидат физико-математических наук

Студ. билет № 1032152668

 

 

(Подпись)

 

 

Автор

(Подпись)

 

г. Москва 2017 г

Оглавление

Коротко о дифференциальной геометрии. 3

Геодезическая линия. 5

Определение и применение. 5

Пример. 6

Дифференциальное уравнение геодезических линий. 6

Теорема 1. 6

Теорема 2. 6

Теорема 3. 7

Геодезическая линия на поверхности. 7

Геодезические на прямом геликоиде. 8

Замечание. 11

Литература. 11

 

 

 

Коротко о дифференциальной геометрии

Дифференциальная геометрия- раздел геометрии, в котором геометрические объекты изучаются методами математического анализа, в первую очередь методами дифференциального исчисления. Важнейшие объекты дифференциальной геометрии - кривые (линии) и поверхности евклидова пространства, а также семейства (непрерывные совокупности) кривых и поверхностей. При этом, в отличие от элементарной и аналитической геометрий, изучающих отдельные кривые и поверхности или специальные классы кривых и поверхностей, дифференциальная геометрия рассматривает преимущественно кривые и поверхности вообще, лишь бы их можно было задавать уравнениями, которые исследуются методами математического анализа. Характерной особенностью дифференциальной геометрии является то, что она исследует, прежде всего, свойства геометрических объектов (кривых, поверхностей и их семейств), которые присущи сколь угодно малым их частям; такие свойства называются дифференциальными.

Первоначально в дифференциальной геометрии изучались дифференциальные свойства геометрических объектов, не изменяющиеся при движениях. Это направление в дифференциальной геометрии называют классическим. К другим направлениям дифференциальной геометрии относятся теории, изучающие как дифференциальные свойства геометрических объектов евклидова пространства, не изменяющиеся при аффинных, проективных и других преобразованиях, так и дифференциальные свойства геометрических объектов в неевклидовых многомерных пространствах (например, в трёхмерном или многомерном пространстве Лобачевского), а также дифференциальные свойства самих неевклидовых пространств. Исследования неевклидовых пространств составляют большой и важный раздел дифференциальной геометрии, имеющий тесные связи с физикой, особенно с теорией относительности.

Отвлечение от специальных свойств геометрических объектов, изучаемых в дифференциальной геометрии, приводит к общему понятию дифференциально-геометрического многообразия, содержащему как частные случаи понятия кривой, поверхности, семейства кривых и поверхностей в евклидовых и неевклидовых пространствах, а также сами эти пространства. Таким образом, дифференциально-геометрическое многообразие является предметом дифференциальной геометрии.

В различных разделах дифференциальной геометрии и в её применениях рассматриваются разнообразные объекты. При всём разнообразии этих объектов они обладают некоторыми общими чертами. Прежде всего, они суть множества, для которых определено понятие близости элементов (линии и поверхности суть множества точек, семейства суть множества линий и поверхностей). Далее, они являются многомерными топологическими многообразиями, т. е. вблизи каждого своего элемента имеют то же топологическое строение, что и евклидово пространство некоторой размерности (вблизи некоторых элементов множество может иметь более сложное топологическое строение, но такие элементы исключаются из рассмотрения как особые; например, конус вблизи каждой своей обыкновенной точки имеет такое же строение, как евклидова плоскость, вершина же конуса является особой точкой). Наконец, множества, изучаемые в дифференциальной геометрии, рассматриваются всегда вместе с заданными координатами элементов; при этом число координат для каждого элемента равно размерности множества и координаты непрерывно зависят от элемента, т. е. при бесконечно малом перемещении элемента его координаты изменяются бесконечно мало. Таковы, например, декартовы координаты на плоскости. Однако во многих случаях, например, на сфере, введение таких координат на всём множестве невозможно, но в этих случаях для множеств, рассматриваемых в дифференциальной геометрии, можно указать конечную или счётную систему областей, совместно покрывающих множество, в каждой из которых могут быть введены координаты с соблюдением указанных условий. При этом в общей части каждой пары таких областей координаты произвольного элемента, введённые в любой из них, выражаются через координаты, введённые в другой, как функции непрерывные и некоторое число раз дифференцируемые. Это делает возможным применение методов математического анализа вне зависимости от того, какие координаты кладутся в основу вычислений.

Геодезическая линия



Поделиться:




Поиск по сайту

©2015-2024 poisk-ru.ru
Все права принадлежать их авторам. Данный сайт не претендует на авторства, а предоставляет бесплатное использование.
Дата создания страницы: 2018-01-31 Нарушение авторских прав и Нарушение персональных данных


Поиск по сайту: