Геодезическая линия на поверхности

Если прямая линия лежит на поверхности, то она — геодезическая линия этой поверхности. Действительно, кривизна прямой γ тождественно равна нулю. Поэтому в каждой точке P∈γ вектор кривизны k , а, следовательно, и его ортогональная проекция _g на касательную плоскость T_PΠ равны нулю, откуда k_g≡0. Таким образом, прямолинейные образующие однополостного гиперболоида, эллиптического параболоида, конуса с выколотой вершиной и цилиндра являются примерами геодезических линий на этих поверхностях.

Теперь докажем, что геодезическими линиями на плоскости являются прямые и только они.

Первый способ. Как сказано выше, любая прямая, лежащая на поверхности, является геодезической линией. Поскольку через любую точку P плоскости в данном направлении можно провести прямую, и она — геодезическая, то в силу единственности непараметризованной геодезической линии, проходящей через данную точку в данном направлении (теорема 3), других геодезических на плоскости нет.

Второй способ. Пусть Π— плоскость в E³. Тогда, в силу замечания можно выбрать прямоугольную систему координат Oxyz в E³ так, чтобы плоскость Oxy совпадала с плоскостью Π.

Замечание

В силу того, что кривая γ на поверхности Π является геодезической линией тогда и только тогда, когда ее касательные векторы образуют поле параллельного переноса вдоль γ, и того, что свойство гладкого векторного поля (t)быть параллельным вдоль кривой σ на гладкой поверхности Π не зависит как от выбора параметризации поверхности, так и от параметризации кривой, то свойство гладких кривых γ на поверхности Π быть геодезическими линиями не зависит от параметризации поверхности.

Тогда Π задана уравнением z=0 или вектор-функцией (x, y) ={x, y, 0}, где x, y - любые действительные числа. Откуда ₁= _x={1,0,0}, ₂= _y={0,1,0} и (g_ij) = . Так как каждый элемент g_ij не зависит от x и y, то ≡0, поэтому система дифференциальных уравнений геодезических линий на плоскости Π имеет вид =0, =0. Решения этой системы x(s)=c₁s+c₂, y(s)=c₃s+c₄, где c₁, c₂, c₃, c₄— произвольные константы, представляют собой все прямые на плоскости Π.

Геодезические на прямом геликоиде

Напомним, что, если прямая линия лежит на поверхности, то она — геодезическая линия этой поверхности. Действительно, кривизна прямой γ тождественно равна нулю. Поэтому в каждой точке P∈γ вектор кривизны k , а, следовательно, и его ортогональная проекция _gна касательную плоскость T_PΠ равны нулю, откуда k_g≡0. Таким образом, прямолинейные образующие однополостного гиперболоида, эллиптического параболоида, конуса с выколотой вершиной и цилиндра являются примерами геодезических линий на этих поверхностях.

Найти геодезические линии на прямом геликоиде (u, v)={u*cosv, u*sinv, h*v}.

Решение:

Вычислим матрицу (g_ij) первой квадратичной формы поверхности и обратную к ней (g^ij):

(g_ij)= ; (g^ij)= .

Находим символы Кристоффеля второго рода

() = ; () = .

Координатные линии v= const представляют собой прямые и как уточнено выше, являются геодезическими линиями прямого геликоида. Дифференциальное уравнение

запишется в виде:

. (1)

Сделаем замену:

p= ,считаяp=p(u),

при этом и уравнение (1) примет вид:

. (2)

Положимq=p²,тогда

из (2) имеем (3)

Решаем соответствующее однородное уравнение:

,откуда и ln|q|=2ln(u²+h²)+lnc₁.

Запишем общее решение однородного уравненияq=c₁(u²+h²)².В качестве частного решения неоднородного уравнения (3) возьмемq=−(u²+h²).Тогдаq=c₁(u²+h²)²−(u²+h²)— общее решение уравнения (3). Возвращаясь к переменнымu, v, мы получаем:

.

Следовательно,

,

где c₁иc₂— произвольные константы, причем .

Ответ:v=c₀=constиv=F(u, c₁,c₂), ,— множество геодезических линий прямого геликоида.

Замечание

Для простоты все отображения, кривые и поверхности предполагаются требуемого класса гладкости.

Напомним, что гладкая кривая ρ=ρ(t), при t∈(α, β), называетсярегулярной,если ρ=0,∀t∈(α, β). Далее все кривые предполагаются регулярными. Все индексы, обозначенные малыми латинскими буквами i, j, k, l, s, mпринимают значения1 и 2, если не оговорено противное. Так же будут использовать тензорные обозначения.

Литература

1. Геодезические линии. Степанов С. Е. 2000г. МАТЕМАТИКА

2. ГЕОДЕЗИЧЕСКИЕ ЛИНИИ НА ПОВЕРХНОСТЯХ. Составители:Жукова Н.И., Багаев А.В. Учебно-методическое пособие. — Н. Новгород:Издательство Нижегородского госуниверситета. — 2008. – 54 с.

3. Картан Э. Внешние дифференциальные системы и их геометрические приложения. М.: Изд-во МГУ, 1962

4. Рашевский П.К. Курс дифференциальной геометрии (3-е изд.). М.-Л.: ГИТТЛ, 1950