Геодезическая линия – это геометрическое понятие, обобщающее понятие прямой (или отрезка прямой) евклидовой геометрии на случай пространств более общего вида. Так, геодезические линии на поверхности - линии, достаточно малые дуги которых являются на этой поверхности кратчайшими путями между концами этих дуг. На плоскости геодезические линии суть прямые, на круговом цилиндре - винтовые линии, на сфере - большие окружности, т. е. окружности, являющиеся пересечениями сферы с плоскостями, проходящими через её центр. Не всякая дуга геодезической линии является на поверхности кратчайшим путём. Например, на сфере дуга большой окружности, большая полуокружности, не будет кратчайшей между своими концами. Т. к. определение геодезической линии связано только с измерениями на поверхности, они относятся к объектам внутренней геометрии поверхности. Геодезические линии обладают тем свойством, что их главные нормали являются нормалями к поверхности. Геодезические линии впервые появились в работах Я. и И. Бернулли (1697-98) и Л. Эйлера (1728-32). Термин «геодезическая» введён П. Лапласом (1798-99) применительно к «кратчайшим линиям» на земной поверхности. Геодезические линии на произвольной поверхности изучал Ж. Лиувилль (1844).
Теперь приведем более точное определение геодезической линии: гладкая кривая γ, лежащая на поверхности Π, называется геодезической линией на этой поверхности, если геодезическая кривизна kg кривой γ равна нулю в каждой ее точке.
Понятие «геодезической линии» широко применяется при решении теоретических и практических задач геодезии, в которых точки земной поверхности проецируются на поверхность земного эллипсоида и соединяются геодезическими линиями. На поверхности земного эллипсоида геодезические линии обладают кручением и являются сложными кривыми. Математические методы позволяют перейти от расстояний и углов на земной поверхности к длинам дуг геодезических линий и углам между этими дугами на поверхности земного эллипсоида.
Пример
Если прямая линия лежит на поверхности, то она — геодезическая линия этой поверхности. Действительно, кривизна прямой γ тождественно равна нулю. Поэтому в каждой точке P∈γ вектор кривизны k 
, а, следовательно, и его ортогональная проекция вектор 
g на касательную плоскость TPΠ равны нулю, откуда kg≡0.Таким образом, прямолинейные образующие однополостного гиперболоида, эллиптического параболоида, конуса с выколотой вершиной и цилиндра являются примерами геодезических линий на этих поверхностях.
Дифференциальное уравнение геодезических линий
Теорема 1
Гладкая кривая γ: ui=ui(s) на поверхности Π, параметризованная натуральным параметром s, является геодезической линией тогда и только тогда, когда ui=ui(s)— решение дифференциального уравнения 
.
Теорема 2
Пусть γ — произвольная кривая на поверхности Π, причем ее координатные функции ui=ui(t) удовлетворяют уравнению 
. Тогда: 1)
касательные векторы 
к γ образуют поле параллельного переноса и имеют длину, равную c=const >0;
2) γ— геодезическая линия с натуральным параметром s=ct+c0, где c0 — произвольная постоянная.
Уравнение ,представляющее собой систему двух
обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка, называетсяуравнением геодезических линийна поверхности П.
Геодезическая линия γ: ui=ui(t), удовлетворяющая уравнению , называется параметризованной геодезической, а параметр t на γ — аффинным.
Теорема 3
Через любую точку P0 поверхности Π в любом направлении du:dv (в точкеP0) проходит единственная непараметризованная геодезическая линия.