1. Право провести предварительную проверку работ олимпиады дается кураторам и учителям школ, организующим олимпиаду на своей базе. Это право НЕ является обязанностью (Вы можете отослать все работы, даже не просматривая их), но дает Вам возможность несколько сократить почтовые расходы.
2. Каждая задача оценивается отдельно, независимо от остальных. Оценка 7 баллов ставится в случае полного (без недочетов) решения задачи. Если задача в целом решена, но упущены какие-то детали, либо имеются описки (не разрушающие итоговый вывод), то оценка – 5 баллов. В 2 балла оцениваются существенные этапы решения, не доведенные до конца, а также решения с серьезными ошибками. Наконец, 0 – полностью неверное решение, либо его отсутствие.
3. Итоговая оценка работы равна сумме баллов за все задачи. Если участник выполнил работы сразу за несколько классов, то такие баллы не суммируются (каждая работа оценивается отдельно, что заносится в соответствующий протокол).
4. По итогам проверки составляется протокол, в котором про КАЖДОГО участника олимпиады указываются фамилия, имя, класс, номер или название школы, город, оценки по каждой задаче и итоговая оценка. Этот протокол желательно оформить в виде таблицы в формате *.xls или *.rtf и не позднее 15 февраля 2013г. отправить в присоединенном файле на vphedotov@narod.ru.
5. Вы должны выслать в жюри (обычной почтой, либо выставить в электронном виде на школьном сайте или личном сайте участника, либо в присоединенном файле формата *.rtf на vphedotov@narod.ru):
a. Лучшие работы по каждому классу, набравшие не менее 30 баллов.
b. Все работы, набравшие не менее 35 баллов.
c. Спорные работы:
i. Если Вы сомневаетесь, верно ли решение участника.
ii. Если решение не удается оценить по критериям п.2.
iii. Если участник не согласен с Вашей оценкой.
(но нет необходимости высылать работу, если итоговая оценка все равно не превысит 25 баллов: в этом случае Вы можете устранить предмет спора, просто слегка завысив оценку).
6. Жюри оставляет за собой право попросить Вас выслать работы, оценка которых покажется нам сомнительной. Поэтому, если работа не отсылается и не выставляется, то Вы должны сохранять ее до конца марта 2013г.
ЗАДАЧИ ПО КЛАССАМ
Класс
1. Маша хочет разложить 9 карандашей в 5 разных коробок так, чтобы количество карандашей в коробках было попарно различным. Как это сделать? (Если это невозможно, то объясните, почему.)
2. В любую клетку квадрата 5х5 разрешается поставить жёлтую, красную или синюю фишку, но так, чтобы никакие две фишки разных цветов не оказались на одной вертикали или горизонтали. Выставьте наименьшее возможное количество фишек, к которым (с учётом этого запрета) нельзя было бы добавить ни одной ещё.
3. Даны квадраты 3х3 и 4х4. На какое наименьшее общее число частей нужно их разрезать, чтобы из них можно было сложить квадрат 5х5?
4. Ян коллекционирует геометрические модели. Любые две из его моделей отличаются либо по размеру, либо по форме, либо по цвету, либо сразу по нескольким признакам. Есть модели трёх размеров (мелкие, средние и крупные), причём их количество попарно различно. Есть модели четырёх форм (шары, кубы, пирамиды и цилиндры), причём их количество попарно различно. Есть модели пяти цветов (жёлтые, синие, красные, белые, зелёные), причём их количество попарно различно. Чему равно наименьшее возможное число моделей в коллекции, удовлетворяющей этим условиям?
5. Найдите наибольшее пятизначное число, нацело делящееся на 2013, все цифры которого различны.
6. На турнир приезжают 9 шахматистов, каждые два из которых должны будут сыграть одну партию между собой. Организаторы хотят провести турнир в 3 городах в течение 4 дней. Важно, чтобы ежедневно все игроки играли одинаковое число партий, и никому из них не пришлось бы переезжать в другой город в течение игрового дня. Составьте расписание турнира, удовлетворяющее этим требованиям. (Если это невозможно сделать, то объясните, почему.)
Класс
1. Маша хочет разложить 13 карандашей в 6 разных коробок так, чтобы количество карандашей в коробках было попарно различным. Как это сделать? (Если это невозможно, то объясните, почему.)
2. В любую клетку квадрата 6х6 разрешается поставить жёлтую, красную или синюю фишку, но так, чтобы никакие две фишки разных цветов не оказались на одной вертикали или горизонтали. Выставьте наименьшее возможное количество фишек, к которым (с учётом этого запрета) нельзя было бы добавить ни одной ещё.
3. Даны квадраты 6х6 и 8х8. На какое наименьшее общее число частей нужно их разрезать, чтобы из них можно было сложить квадрат 10х10?
4. Вова записал несколько многочленов, возвёл каждый в квадрат и сложил результаты. В итоге он получил выражение x2+y2+z2+2013(ху+xz+уz)+1. Коля не знает, какие именно многочлены использовал Вова, но уверен, что тот ошибся. Кто из них прав и почему?
5. Найдите наибольшее шестизначное число, нацело делящееся на 2013, все цифры которого различны.
6. На турнир приезжают 9 шахматистов, каждые два из которых должны будут сыграть одну партию между собой. Организаторы хотят провести турнир в 3 городах в течение 4 дней. Важно, чтобы ежедневно все игроки играли одинаковое число партий, и никому из них не пришлось бы переезжать в другой город в течение игрового дня. Составьте расписание турнира, удовлетворяющее этим требованиям. (Если это невозможно сделать, то объясните, почему.)
Класс
1. Маша хочет разложить 20 карандашей в 7 разных коробок так, чтобы количество карандашей в коробках было попарно различным. Как это сделать? (Если это невозможно, то объясните, почему.)
2. В любую клетку квадрата 7х7 разрешается поставить жёлтую, красную или синюю фишку, но так, чтобы никакие две фишки разных цветов не оказались на одной вертикали или горизонтали. Выставьте наименьшее возможное количество фишек, к которым (с учётом этого запрета) нельзя было бы добавить ни одной ещё.
3. Даны квадраты 1х1 и 7х7. На какое наименьшее общее число частей нужно их разрезать, чтобы из них можно было сложить два квадрата 5х5?
4. Ян коллекционирует геометрические модели. Любые две из его моделей отличаются либо по размеру, либо по форме, либо по цвету, либо сразу по нескольким признакам. Есть модели трёх размеров (мелкие, средние и крупные), причём их количество попарно различно. Есть модели четырёх форм (шары, кубы, пирамиды и цилиндры), причём их количество попарно различно. Есть модели пяти цветов (жёлтые, синие, красные, белые, зелёные), причём их количество попарно различно. Чему равно наибольшее возможное число моделей в коллекции, удовлетворяющей этим условиям?
5. Найдите наибольшее семизначное число, нацело делящееся на 2013, все цифры которого различны.
6. На турнир приезжают 9 шахматистов, каждые два из которых должны будут сыграть одну партию между собой. Организаторы хотят провести турнир в 3 городах в течение 4 дней. Важно, чтобы ежедневно все игроки играли одинаковое число партий, и никому из них не пришлось бы переезжать в другой город в течение игрового дня. Составьте расписание турнира, удовлетворяющее этим требованиям. (Если это невозможно сделать, то объясните, почему.)
Класс
1. Маша хочет разложить 25 карандашей в 8 разных коробок так, чтобы количество карандашей в коробках было попарно различным. Как это сделать? (Если это невозможно, то объясните, почему.)
2. В любую клетку квадрата 8х8 разрешается поставить жёлтую, красную или синюю фишку, но так, чтобы никакие две фишки разных цветов не оказались на одной вертикали или горизонтали. Выставьте наименьшее возможное количество фишек, к которым (с учётом этого запрета) нельзя было бы добавить ни одной ещё.
3. Вова записал несколько многочленов, возвёл каждый в квадрат и сложил результаты. В итоге он получил выражение x2+y2+z2+2013(ху+xz+уz)+1. Коля не знает, какие именно многочлены использовал Вова, но уверен, что тот ошибся. Кто из них прав и почему?
4. Ян коллекционирует геометрические модели. Любые две из его моделей отличаются либо по размеру, либо по форме, либо по цвету, либо сразу по нескольким признакам. Есть модели трёх размеров (мелкие, средние и крупные), причём их количество попарно различно. Есть модели четырёх форм (шары, кубы, пирамиды и цилиндры), причём их количество попарно различно. Есть модели пяти цветов (жёлтые, синие, красные, белые, зелёные), причём их количество попарно различно. Чему равно наибольшее возможное число моделей в коллекции, удовлетворяющей этим условиям?
5.Марк последовательно выписывает числа 122, 122122, 122122122 и т.д. На каком шаге он запишет число, нацело делящееся на 2013?
6. На турнир приезжают 9 шахматистов, каждые два из которых должны будут сыграть одну партию между собой. Организаторы хотят провести турнир в 3 городах в течение 4 дней. Важно, чтобы ежедневно все игроки играли одинаковое число партий, и никому из них не пришлось бы переезжать в другой город в течение игрового дня. Составьте расписание турнира, удовлетворяющее этим требованиям. (Если это невозможно сделать, то объясните, почему.)
Класс
1. Пусть Т(х) – сумма всех простых чисел, меньших х. Найдите все корни уравнения Т(х)=х2/2.
2. В квадрате 9х9 разрешается делать разрезы длины 1 по общей границе любых двух соседних единичных квадратиков, но так, чтобы он не распался на части. Найдите наибольшее возможное число таких разрезов. Приведите пример.
3. При каких значениях Р оба корня уравнения х2−Рх+2013=0 −целые?
4. Ян коллекционирует геометрические модели. Любые две из его моделей отличаются либо по размеру, либо по форме, либо по цвету, либо сразу по нескольким признакам. Есть модели трёх размеров (мелкие, средние и крупные), причём их количество попарно различно. Есть модели четырёх форм (шары, кубы, пирамиды и цилиндры), причём их количество попарно различно. Есть модели пяти цветов (жёлтые, синие, красные, белые, зелёные), причём их количество попарно различно. Чему равно наибольшее возможное число моделей в коллекции, удовлетворяющей этим условиям?
5. Марк последовательно выписывает числа 61, 6161, 616161 и т.д. На каком шаге он запишет число, нацело делящееся на 2013?
6. На турнир приезжают 16 шахматистов, каждые два из которых должны будут сыграть одну партию между собой. Организаторы хотят провести турнир в 4 городах в течение 5 дней. Важно, чтобы ежедневно все игроки играли одинаковое число партий, и никому из них не пришлось бы переезжать в другой город в течение игрового дня. Составьте расписание турнира, удовлетворяющее этим требованиям. (Если это невозможно сделать, то объясните, почему.)
Класс
1. Пусть Т(х) – сумма всех простых чисел, меньших х. Найдите все корни уравнения Т(х)=х2/2.
2. В квадрате 10х10 разрешается делать разрезы длины 1 по общей границе любых двух соседних единичных квадратиков, но так, чтобы он не распался на части. Найдите наибольшее возможное число таких разрезов. Приведите пример.
3. При каких Р оба корня уравнения х2+Рх+2013=0 −целые?
4. Пусть точки Q и R делят отрезок PS на три равные части, а точки B, X, Y, Z, T служат серединами отрезков AC, AS, BR, BQ и СР соответственно. Какие значения может принимать отношение длин отрезков ХТ и YZ?
5. На какое наименьшее число частей нужно разрезать куб с ребром 6, чтобы из них можно было сложить кубы с ребрами 3, 4 и 5?
6. На турнир приезжают 16 шахматистов, каждые два из которых должны будут сыграть одну партию между собой. Организаторы хотят провести турнир в 4 городах в течение 5 дней. Важно, чтобы ежедневно все игроки играли одинаковое число партий, и никому из них не пришлось бы переезжать в другой город в течение игрового дня. Составьте расписание турнира, удовлетворяющее этим требованиям. (Если это невозможно сделать, то объясните, почему.)
Класс
1. Пусть Т(х) – сумма всех простых чисел, меньших х. Найдите все корни уравнения Т(х)=2х2/5.
2. На какое наименьшее число частей нужно разрезать куб с ребром 6, чтобы из них можно было сложить кубы с ребрами 3, 4 и 5?
3. Чему равно количество таких пар чисел (А;В), после подстановки которых уравнение х3+Ах2+Вх+2013=0 имеет три различных целых корня?
4. Окружности радиусов 1, 2 и 3 попарно касаются друг друга. Какие значения может принимать площадь области, граница которой состоит из дуг этих трёх окружностей?
5. Решите уравнение ((х+1)х−х)((х−1)х+х)=2013/x.
6. На турнир приезжают 16 шахматистов, каждые два из которых должны будут сыграть одну партию между собой. Организаторы хотят провести турнир в 4 городах в течение 5 дней. Важно, чтобы ежедневно все игроки играли одинаковое число партий, и никому из них не пришлось бы переезжать в другой город в течение игрового дня. Составьте расписание турнира, удовлетворяющее этим требованиям. (Если это невозможно сделать, то объясните, почему.)
Класс
1. Пусть Т(х) – сумма всех простых чисел, меньших х. Найдите все корни уравнения Т(х)=х2/4.
2. На какое наименьшее число частей нужно разрезать куб с ребром 6, чтобы из них можно было сложить кубы с ребрами 3, 4 и 5?
3. При каких А и В уравнение х3+Ах2+Вх+2013=0 имеет три различных целых корня?
4. Окружности радиусов 1, 2 и 3 попарно касаются друг друга. Какие значения может принимать площадь области, граница которой состоит из дуг этих трёх окружностей?
5. Решите уравнение ((х+1)х−х)((х−1)х+х)=2013/x.
6. На турнир приезжают 16 шахматистов, каждые два из которых должны будут сыграть одну партию между собой. Организаторы хотят провести турнир в 4 городах в течение 5 дней. Важно, чтобы ежедневно все игроки играли одинаковое число партий, и никому из них не пришлось бы переезжать в другой город в течение игрового дня. Составьте расписание турнира, удовлетворяющее этим требованиям. (Если это невозможно сделать, то объясните, почему.)
Желаю успеха кураторам и участникам олимпиады!
Всего Вам самого доброго в наступившем году!
Председатель жюри олимпиады "Третье тысячелетие" − Федотов Валерий Павлович, член-корреспондент Международной академии информатизации, vphedotov@narod.ru.