Аксиомы Шепли:
1. Аксиома эффективности. Если S - любой носитель игры с характеристической функцией u, то
= u (S)
Иными словами, “справедливость требует", что при разделении общего выигрыша носителя игры ничего не выделять на долю посторонних, не принадлежащих этому носителю, равно как и ничего не взимать с них.
2. Аксиома симметрии. Для любой перестановки p и iÎN должно выполняться 
(pu) = j i (u), т.е. игроки, одинаково входящие в игру, должны “по справедливости” получать одинаковые выигрыши.
3. Аксиома агрегации. Если есть две игры с характеристическими функциями u¢ и u¢¢, то
j i (u¢ + u¢¢) = j i (u¢) + j i (u¢¢),
т.е. ради “справедливости" необходимо считать, что при участии игроков в двух играх их выигрыши в отдельных играх должны складываться.
Определение. Вектором цен (вектором Шепли) игры с характеристической функцией u называется n-мерный вектор
j (u) = (j1 (u), j2 (u),..., jn (u)),
удовлетворяющий аксиомам Шепли.
Существование вектора Шепли вытекает из следующей теоремы
Теорема. Существует единственная функция j, определённая для всех игр и удовлетворяющая аксиомам Шепли.
Определение. Характеристическая функция wS (T), определённая для любой коалиции S, называется простейшей, если
wS (T) = 
Содержательно простейшая характеристическая функция описывает такое положение дел, при котором множество игроков S выигрывает единицу тогда и только тогда, когда оно содержит некоторую основную минимальную выигрывающую коалицию S.
Вектор Шепли содержательно можно интерпретировать следующим образом: предельная величина, которую вносит i -й игрок в коалицию T, выражается как u (T) - u (T \{ i }) и считается выигрышем i- го игрока; g i ( T) - это вероятность того, что i -й игрок вступит в коалицию T \{ i }; j i (u) - средний выигрыш i -го игрока в такой схеме интерпретации. В том случае, когда u - простейшая,
|
|
Следовательно
,
где суммирование по T распространяется на все такие выигрывающие коалиции T, что коалиция T \{ i }не является выигрывающей.
Пример. Рассматривается корпорация из четырёх акционеров, имеющих акции соответственно в следующих размерах
a1 = 10, a2 = 20, a3 = 30, a4 = 40.
Любое решение утверждается акционерами, имеющими в сумме большинство акций. Это решение считается выигрышем, равным 1. Поэтому данная ситуация может рассматриваться как простая игра четырёх игроков, в которой выигрывающими коалициями являются следующие:
{2; 4}, {3; 4},
{1; 2; 3}, {1; 2; 4}, {2; 3; 4}, {1; 3; 4},
{1; 2; 3; 4}.
Найдём вектор Шепли для этой игры.
При нахождении j1 необходимо учитывать, что имеется только одна коалиция T = {1; 2; 3}, которая выигрывает, а коалиция T \{1} = {2; 3} не выигрывает. В коалиции T имеется t = 3 игрока, поэтому
.
Далее, определяем все выигрывающие коалиции, но не выигрывающие без 2-го игрока: {2; 4}, {1; 2; 3}, {2; 3; 4}. Поэтому
.
Аналогично получаем, что 
, 
.
В результате получаем, что вектор Шепли равен 
. При этом, если считать, что вес голоса акционера пропорционален количеству имеющихся у него акций, то получим следующий вектор голосования 
, который, очевидно, отличается от вектора Шепли.
Анализ игры показывает, что компоненты 2-го и 3-го игроков равны, хотя третий игрок имеет больше акций. Это получается вследствие того, что возможности образования коалиций у 2-го и 3-го игрока одинаковые. Для 1-го и 4-го игрока ситуация естественная, отвечающая силе их капитала.
|
|
Заключение
Теория игр - наука, изучающая поведение многих участников, когда достигаемые каждым результаты зависят от действий остальных.
"Есть в современной математике одна область, она носит безобидное название теории игр, но ей, несомненно, суждено сыграть очень важную роль в человековедении самого ближайшего будущего, - говорил Джон фон Нейман, один из основоположников кибернетики. - Она занимается вопросами оптимального поведения людей при наличии противодействующего противника. Для ученого противник - это природа со всеми ее явлениями; экспериментатор борется со средой; математик - с загадками математического мира; инженер - с сопротивлением материалов".
Кооперативная теория игр, раздел игр теории, в котором игры рассматриваются без учёта стратегических возможностей игроков (тем самым кооперативная теория игр изучает некоторый класс моделей общих игр). В частности, в кооперативной теории игр входит исследование нестратегических (кооперативных) игр, лишённых с самого начала стратегического аспекта. В кооперативной игре задаются возможности и предпочтения различных групп игроков (коалиций) и из них выводятся оптимальные (устойчивые, справедливые) для игроков ситуации, в том числе распределения между ними суммарных выигрышей: устанавливаются сами принципы оптимальности, доказывается их реализуемость в различных классах игр и находятся конкретные реализации. В терминах кооперативных игр поддаются описанию многие экономические и социологические явления.
|
|
Список использованной литературы
1. Большая советская энциклопедия, 1978 г.
2. Теория игр - статья Миркина Б.Г. на портале "Экономика. Социология. Менеджмент".
3. Дж. фон Нейман, О. Моргенштерн. Теория игр и экономическое поведение.