1. Древняя культура Ближнего Востока, несмотря на эллинистические влияния, никогда не исчезала. В александрийской науке явно проступает влияние как Востока, так и Греции; Константинополь и Индия тоже были важными пунктами соприкосновения Востока и Запада. В 395 г. н. э. Феодосии I основал Византийское государство; столица государства Константинополь была греческим городом, но она была административным центром обширных областей, где грека составляли только часть городского населения. В течение тысячи лет это государство, борясь против сил, наступавших с востока, севера и запада, выступало и как хранитель греческой культуры, и как связующее звено между Востоком и Западом. Месопотамия рано, во втором столетии н. э., перестала зависеть от римлян и греков, сперва под властью парфянских королей, позже (266 г.) при чисто персидской династии Сасанидов. Области, прилегающие к Инду, в течение нескольких столетий управлялись греческими династиями, пока те не исчезли в первом столетии н. э. Сменившие их местные индийские королевства поддерживали культурные связи с Персией и Западом.
Политическое господство греков над ближним Востоком почти полностью сошло на нет после внезапного возникновения ислама. После 622 г., года хиджры, арабы с поразительной стремительностью овладели значительной частью Западной Азии (с такой же стремительностью, с какой позже завоевали Америку испанцы), и до конца седьмого столетия они стали обладателями части западно-римского государства – в Сицилии, Северной Африке и в Испании. Везде, куда они проникали, они пытались заменить греко-римскую культуру культурой ислама. Государственным языком стал арабский, заменивший греческий или латинский, из-за нового языка научных документов легко можно упустить из виду, что и при господстве арабов сохранялась замечательная преемственность культуры. Прежние местные культуры в это время получили даже больше возможностей сохраниться, чем при господстве чужеземцев-греков. Например, Персия, несмотря на переход власти к арабам, в значительной мере оставалась прежней страной Сасанидов. Заодно продолжалось соревнование различных традиций, только теперь в новом виде. В течение всего времени господства ислама непрерывно существовала греческая традиция, сохранившая свой особый характер в отличие от различных местных культур.
2. Мы видели, что самые замечательные математические результаты в ходе борьбы и объединения восточной и греческой культур во время расцвета Римской империи были достигнуты в Египте. С упадком Римской империи центр математических исследований постепенно перемещался в Индию, а позже – в обратном направлении, в Месопотамию. Первые хорошо сохранившиеся индийские тексты в области точных наук – это «Сиддханты», часть которых, «Сурья», дошла до нас, вероятно, в достаточно точно соответствующей оригиналу (примерно между 300 и 400 годами н. э.) форме. В этих книгах содержится в основном астрономия, мы находим там эпициклы и шестидесятичные дроби. Такие факты позволяют предположить наличие влияния греческой астрономии, относящегося, быть может, к эпохе «Алмагеста». Возможно, что они указывают на непосредственный контакт с вавилонской астрономией. Но, кроме этого, в «Сиддхантах» мы находим многочисленные типично индийские особенности. «Сурья Сиддханта» содержит таблицу значений синуса (джия), а не хорд.
Результаты, изложенные в «Сиддхантах», систематически разъяснялись и развивались в индийских математических школах, укоренившихся преимущественно в Уджджайне (Центральная Индия) и в Майсоре (Южная Индия). До нас дошли имена и книги отдельных индийских математиков, начиная с пятого столетия н.э.; некоторые книги доступны нам в английских переводах.
Наиболее известными математиками Индии были Ариабхата (прозванный «первым», около 500 г.) и Брахмагупта (около 625 г.). Насколько они были знакомы с результатами греков, вавилонян и китайцев, мы можем только строить предположения, но, во всяком случае, они проявляют значительную оригинальность. Для их работ характерны арифметическо-алгебраические разделы. В их склонности к неопределенным уравнениям проявляется некоторое родство с Диофантом.
Современником Брахмагупты был Бхаскара I, автор комментария к трактату Ариабхаты и астрономического сочинения «Маха-Бхаскария», содержащего математические разделы (неопределенные линейные уравнения, элементы тригонометрии и пр.). За этими учеными в ближайшие столетия последовали другие, работавшие в тех же областях; в трудах последних представлено астрономическое, частично арифметическо-алгебраичестое направление, они занимались также измерениями и тригонометрией. Ариабхата I имел для 
значение 3,1416. Любимым предметом было нахождение рациональных треугольников и четырехугольников. Особенно успешно над этим работал Магавира из Майсорской школы (около 850 г.). До нас дошли также трактаты Шридхары (IX–X вв.), Ариабхаты II (около 950 г.), Шрипати (XI в.) и др. Около 1150г. в Уджджайне, где работал Брахмагупта, мы находим другого выдающегося математика, Бхаскару II. Первое общее решение неопределенного уравнения первой степени 
(
– целые числа) встречается у Брахмагупты. Поэтому, строго говоря, нет оснований называть неопределенные линейные уравнения диофантовыми. Диофант допускал еще и дробные решения, индийские математики интересовались только целочисленными. Они пошли дальше Диофанта и в том отношении, что допускали отрицательные корни уравнений, хотя это в свою очередь, должно быть, соответствует более древней практике, сложившейся под влиянием вавилонской астрономии. Например, для уравнения 
Бхаскара II находил решения 
и 
, но относительно приемлемости отрицательного корня он высказывал известный скептицизм. Его «Лилавати» в течение столетий оставалась на Востоке образцовой книгой по арифметике и искусству измерений; император Акбар перевел ее на персидский язык (1587 г.), в 1816 г. она была издана в Калькутте и после этого многократно переиздавалась как учебник математики для религиозных школ.
Можно сказать с уверенностью, что в древней Индии было найдено много ценнейших математических результатов; например, недавно стало известно, что ряды Грегори–Лейбница для 
были найдены уже при Нилаканте (ок. 1500 г.).
3. Наиболее известным достижением индийской математики является наша современная десятичная позиционная система. Десятичная система – давнего происхождения, тоже относится к позиционной системе, но сочетание их, по-видимому, произошло в Индии, причем постепенно была вытеснена более древняя непозиционная система. Первое известное нам применение десятичной позиционной системы относится к 595 г. – сохранилась плита, на которой число лет 346 записано в такой системе. Но еще задолго до этого индийцы располагали системой для словесного выражения больших чисел, причем использовался принцип позиционности. Имеются тексты более раннего периода, в которых вполне определенным образом применяется слово «сунья», которое обозначает нуль. Интересна так называемая Бахшалийская рукопись – семьдесят полос из березовой коры, неизвестной даты и неизвестного происхождения, – ее относят и к третьему, и к двенадцатому столетию. Она содержит традиционный индийский материал о неопределенных и о квадратных уравнениях, а также о приближениях, и в ней для обозначения нуля применяется точка. Самый древний письменный документ со значком для нуля относится к девятому столетию. Все это значительно более позднего происхождения, чем знак для нуля в вавилонских текстах. Быть может, знак 0 для нуля возник под греческим влиянием («ouden» – греческое слово, означающее ничто); в то время как вавилонскую точку писали только между цифрами, индийский нуль появляется также на последнем месте, и таким образом 0, 1, 2,..., 9 становятся равноправными цифрами.
Десятичная позиционная система проникла по караванным путям во многие области Ближнего Востока и постепенно заняла место наряду с другими системами. Ее продвижение в Персию, может быть, также и в Египет, вполне могло произойти в эпоху Сасанидов (224—641), когда Персия, Египет и Индия были в тесном общении. В те времена в Двуречье еще могло сохраняться воспоминание о древней вавилонской позиционной системе. Самое древнее определенное упоминание индийской позиционной системы вне Индии мы находим в написанной в 662 г. книге Севера Себохта, сирийского епископа. Научный мир ислама смог познакомиться с так называемой индийской системой, когда ал-Фазари перевел на арабский язык «Сиддханты» (около 773 г.). Постепенно эту систему все шире стали применять в арабском мире и далее, хотя одновременно оставались в ходу и греческая, и другие местные системы. Могли иметь определенное значение и общественные факторы – восточной традиции десятичная позиционная система была ближе, чем греческая. Весьма разнообразны знаки, которые применялись для записи цифр позиционной системы, но имеются два главных типа: индийские обозначения, которые применялись восточными арабами, и так называемые цифры «гобар» (или «губар»), которые применялись западными арабами в Испании. Знаки первого типа и сейчас еще применяются в арабском мире, но наша современная система, по-видимому, произошла из системы «гобар». Существует (уже упомянутая) теория Вёпке, согласно которой знаки «гобар» применялись в Испании, когда туда вторглись арабы, а проникли эти знаки на запад гораздо раньше (ок. 450 г.) из Александрии через неопифагорейцев.
4. Месопотамия, которая при греческих и римских правителях стала форпостом Римской империи, при Сасанидах вернула себе положение центра торговых путей, Сасаниды управляли страной как коренная династия персидских королей, в духе Кира и Ксеркса. Нам мало что известно об этом периоде персидской истории и совсем мало – о состоянии науки в то время, но дошедшие до нас предания в том виде, в каком мы их находим у Омара Хайяма, Фирдоуси и в «Тысяче и одной ночи», подтверждают скудные исторические сведения о том, что период Сасанидов был эпохой культурного расцвета. Персия Сасанидов, находясь между Константинополем, Александрией, Индией и Китаем, была страной, в которой сошлись многие культуры. Вавилон исчез, но его сменил Ктесифон–Селевкия, который в свою очередь после арабского завоевания в 641 г. уступил место Багдаду. При этом завоевании многое в старой Персии осталось нетронутым, хотя пехлевийский язык был заменен арабским в качестве официального. Даже ислам был воспринят лишь в видоизмененной форме (шиизм); христиане, евреи и приверженцы Заратустры, как и прежде, вносили свой вклад в культурную жизнь багдадского халифата.
В математике периода ислама мы видим такое смешение различных влияний, какое мы уже встречали в Александрии и в Индии. Халифы Аббасиды, особенно ал-Мансур (754–775), Харун-ал-Рашид (786–809) и ал-Мамун (813–833), покровительствовали астрономии и математике; ал-Мамун даже соорудил в Багдаде «Дом мудрости» с библиотекой и обсерваторией. Исламские работы в области точных наук, которые начались с перевода «Сиддхант» ал-Фазари, достигли своей первой вершины в деятельности уроженца Хивы Мухаммеда ибн Муса ал-Хорезми, творчество которого приходится на время около 825 г. Мухаммед написал много книг по математике и астрономии. В своей арифметике он разъясняет индийскую систему записи чисел. Арабский оригинал этой работы потерян, но имеется латинский перевод двенадцатого столетия. Эта книга была одним из источников, с помощью которых Западная Европа познакомилась с десятичной позиционной системой. Заглавие перевода: «Об индийском числе, сочинение Алгоризми» (Algorizmi de numero Indozum). В других рукописях автор именовался Algorismus и Algorithmus, что ввело в наш математический язык термин «алгоритм» – латинизированное имя автора. Нечто подобное произошло с алгеброй Мухаммеда, которая была озаглавлена «Хисаб ал-джабр ва-л-мукабала» (буквально: «Исчисление восполнения и противопоставления»), что, вероятно, означало «науку об уравнениях». Эта алгебра, арабский текст которой сохранился, стала известной на Западе в латинском переводе, и слово «ал-джабр» стало употребляться как синоним всей науки «алгебры», которая действительно до середины девятнадцатого столетия была не чем иным как наукой об уравнениях.
В этой «алгебре» рассматривались линейные и квадратные уравнения, но без какого бы то ни было алгебраического формализма. Не было и «риторического» алгоритма, какой имелся у Диофанта. Среди этих уравнений мы находим такие три типа:
,
которые надо было рассматривать отдельно, поскольку допускались только положительные коэффициенты. Эти три типа в последующих текстах часто повторяются – так, «уравнение 
как золотая нить проходит в течение нескольких столетий через алгебраические книги», пишет профессор Карпинский. Многие рассуждения носят геометрический характер. Астрономические и тригонометрические таблицы Мухаммеда (со значениями синуса и тангенса) тоже в числе арабских книг, которые позже были переведены на латинский. Его геометрия представляет собой простое перечисление правил измерения. Она имеет известное значение, потому что ее можно непосредственно связать с одним еврейским текстом 150 г. В ней явно сказывается пренебрежение традициями Евклида. Астрономия ал-Хорезми является извлечением из «Сиддхант», и поэтому в ней можно обнаружить определенное греческое влияние, воспринятое посредством санскритского текста. Вообще работы ал-Хорезми больше выявляют восточное, чем греческое влияние, и это следует отнести за счет вполне обдуманных намерений автора.
Труды ал-Хорезми в целом сыграли важную роль в истории математики как один из главных источников, с помощью которых Западная Европа познакомилась с индийскими цифрами и с арабской алгеброй. До середины девятнадцатого столетия в алгебре сказывалось ее восточное происхождение – ей не хватало аксиоматического обоснования, и этим она резко отличалась от геометрии Евклида. В наших школьных учебниках алгебры и геометрии до сих пор сохранились эти признаки их различного происхождения.
5. Греческую традицию продолжала хранить школа ученых, добросовестно переводивших на арабский язык Аполлония, Архимеда, Евклида, Птолемея и других. Ставшее всеобщим применением названия «Алмагест» для «Большого собрания» Птолемея указывает на влияние арабских переводов на Запад. Благодаря этим воспроизведениям и переводам до нас дошли многие греческие классики, которые иначе оказались бы потерянными. При этом проявлялась естественная склонность подчеркивать вычислительную и практическую сторону греческой математики за счет ее теоретической части. Арабская астрономия особенно интересовалась тригонометрией – слово «синус» является латинским переводом арабского написания санскритского слова «джива». Значения синуса соответствовали полухорде двойного угла (Птолемей применял полную хорду) и рассматривались как отрезки, а не как числа. Значительная часть тригонометрии содержится в работах ал-Баттани (Альбатений, Albategnius, до 858—921), одного из великих арабских астрономов, который располагал также таблицей значений котангенса для каждого градуса («umbra extensa» – «развернутая тень») и умел решать задачи, сводившиеся к применению теоремы косинусов для сферических треугольников.
Труды ал-Баттани показывают, что арабы были не только переписчиками, овладев как греческими, так и восточными методами, они вносили новое. Абу-л-Вафа (940–997/8) вывел теорему синусов сферической тригонометрии, вычислил таблицу синусов с интервалом в 15', значения в которой точны до восьмого десятичного знака, ввел отрезки, соответствующие секансу и косекансу, и выполнил; много различных геометрических построений, применяя циркуль постоянного раствора. Он продолжал также, вслед за греками, изучение уравнений третьей и четвертой степени. Ал-Кархи (начало одиннадцатого столетия),: написавший алгебру «для подготовленных», причем он следовал Диофанту, располагал интересными результатами относительно иррациональных чисел, как, например, формулами 
. Он проявлял определенную склонность к грекам, его «пренебрежение индийской математикой было столь явным, что должно было иметь систематический характер».
6. Нам нет необходимости прослеживать многочисленные политические и этнологические изменения в мире ислама. Они вызывали подъемы и падения в развитии астрономии и математики; одни центры исчезали, другие в течение некоторого времени процветали, но по сути общий характер исламской науки оставался без изменений. Мы укажем здесь лишь на некоторые высшие точки.
Около 1000 г. н. э. в Северной Персии появились новые правители, турки-сельджуки, государство которых процветало в районе, прилегающем к центру оросительной системы Мерву. Здесь жил Омар Хайям (ок. 1038/48–1123/24), который стал известен на Западе как автор «Рубайят» (в переводе Фицджеральда, 1859 г.). Он был астрономом и философом:
(LIX)
Я рассчитал – твердит людей молва –
Весь ход времен. Но дней ведь только два
Изъял навек я из календаря:
Тот, что не знаем – завтра, не вернем – вчера.
По-видимому, Омар имеет здесь в виду свою реформу старого персидского календаря, после чего календарь давал ошибку в один день за 5000 лет (1540 или 3770 лет по другим интерпретациям), тогда как наш нынешний грегорианский календарь дает ошибку в один день за 3330 лет. Его реформа была осуществлена в 1079 г., но позже его календарь был заменен мусульманским лунным календарем. Омар написал «Алгебру» (полное название: «Трактат о доказательствах алгебры и алмукабалы») – выдающееся достижение, так как в ней содержится систематическое исследование уравнений третьей степени. Применяя метод, которым иной раз пользовались греки, он определял корни этих уравнений как общие точки двух конических сечений. Он не искал числовых решений и различал – тоже в стиле греков – «геометрические» и «арифметические» решения, причем последние рассматривались как существующие лишь тогда, когда значения, корней оказывались положительными рациональными числами. Таким образом, этот метод полностью отличался от метода болонских математиков шестнадцатого века, которые применяли чисто алгебраические приемы. В другой книге, в которой рассматриваются трудности у Евклида, Омар заменил аксиому параллельных целым рядом других допущений. Здесь он строил фигуры, которые можно связать с «гипотезами тупого, острого и прямого угла», как они сейчас используются в неевклидовой геометрии. Он заменил также евклидову теорию пропорций числовой теорией, причем он пришел к численному приближению иррациональностей и к общему понятию действительного числа.
После того как в 1256 г. монголы разграбили Багдад, неподалеку возник новый центр учености в виде Марагинской обсерватории, которая была построена монгольским правителем Хулагу для «нисбу» ат-Туси (в европейской литературе чаще Насирэ(д)дин Туей, 1201–1274). Здесь опять возникло учреждение, в котором сосредоточилась вся наука Востока и которое можно было сравнивать с научными центрами Греции. Ат-Туси отделил от астрономии тригонометрию как самостоятельную науку. Его попытки доказать аксиому о параллельных Евклида, причем он следовал ходу мыслей Омара Хайяма, показывают, что он ценил теоретический метод греков. Влияние ат-Туси ощутимо в Европе эпохи Возрождения, и еще в 1-65-1 и 1663 гг. Джон Валлис пользовался работой ат-Туси о постулате Евклида.
Ат-Туси был продолжателем традиций Омара и в своей теории пропорций, и в новых численных приближениях иррациональных чисел.
Другой персидский математик, ал-Каши (первая половина пятнадцатого столетия) проявляет большое искусство при выполнении вычислений, вполне сравнимое с тем, чего достигли европейцы в конце шестнадцатого века. Он решал уравнения третьей степени с помощью итерации и тригонометрическим методом, знал тот метод решения общих алгебраических уравнений высших степеней, который теперь носит имя схемы Горнера и обобщает метод извлечения корней более высокого порядка из обычных чисел (тут вероятно китайское влияние). В его трудах мы находим формулу бинома для любых положительных целых показателей. Наряду с шестидесятичными дробями он применяет десятичные дроби с запятой (например, 25,07, помноженное на 14,3, записывается как 358,501), а число было известно Каши с 16 десятичными знаками.
В Египте выдающейся личностью был Ибн ал-Хайсам (Алхазен, ок. 965–1039), крупнейший мусульманский физик, «Оптика» которого имела большое влияние на Западе. Он решил «Задачу Алхазена», в которой требуется из двух точек на площади круга провести прямые так, чтобы они встретились в точке окружности и в этой точке образовали равные углы с нормалью. Эта задача приводит к уравнению четвертой степени, она была решена в греческом духе с помощью пересечения гиперболы с окружностью. Алхазен применял также метод исчерпывания для вычисления объемов тел, которые получаются при вращении параболы вокруг какого-либо ее диаметра или ординаты. За сто лет до Алхазена в Египте жил алгебраист Абу Камил, который продолжал труды ал-Хорезми. Он оказал влияние не только на ал-Кархи, но и на Леонардо Пизанского.
Другой центр учености существовал в Испании. В Кордове жил один из самых выдающихся астрономов ал-Заркали (Арзахел, ок. 1029 г. – до примерно 1087 г.), наилучший наблюдатель своего времени и составитель так называемых Толедских планетных таблиц. Тригонометрические таблицы этого труда, который был переведен на латинский язык, оказали определенное влияние на развитие тригонометрии в эпоху Возрождения,
Хотя как почти вся математика Дальнего Востока, так и значительная часть исламской математики создавались в традиционном алгоритмическо-алгебраическом духе, они представляли собой существенное продвижение по отношению к античным методам. Лишь к концу шестнадцатого столетия Западная Европа достигла того же уровня.
7. Начиная с двенадцатого столетия, мы располагаем сведениями о японской математике. Многое здесь находится под китайским влиянием.
В семнадцатом столетии развиваются новые формы, отчасти на основе контактов с Европой. С этого периода на Западе наступает расцвет новых и более высоких форм математики. Относительно китайской математики остается еще указать, что ее нельзя рассматривать как изолированное явление, подобно, скажем, математике майя.
По крайней мере, начиная с эпохи династии Хань (которая существовала примерно одновременно с Римской империей), всегда были значительные торговые и культурные связи с другими частями Азии и даже с Европой. Индийская, а позже арабская наука влияли на науку Китая, и такое влияние могло быть взаимным. Мы имеем в виду, например, десятичную позиционную систему и отрицательные числа, что, весьма возможно, пропутешествовало из Китая в Индию.
Влияние Индии на Китай могло быть обусловлено проникновением в Китай буддизма (первое столетие н.э.). Напротив, греческое влияние, несмотря на некоторое сходство в развитии, мало заметно или вовсе незаметно.
Поэтому, вероятно, исследования об отношении длины окружности к диаметру круга, типичные для периода после династии Хань, велись независимо от Архимеда. Лю Хуэй, составитель дошедшего до нас комментария к «Девяти книгам» (263 г. н. э.), с помощью вписанных и описанных правильных многоугольников нашел, что 
, а двумя столетиями позже Цзу Чун-чжи (430–501) и его сын указали не только значение с семью десятичными знаками, но и значения
и 
.
Во времена династии Тан (618–907) при государственных экзаменах чиновников пользовались собранием важнейших математических текстов. В этот период было изобретено книгопечатание, но первые известные нам напечатанные математические произведения относятся к 1084 г. и более поздним. В 1115 г. появилось печатное издание «Девяти книг».
Уже в книге, составленной Ван Сяо-туном около 625 r., мы находим кубическое уравнение более сложное, чем уравнение 
из «Девяти книг». Но период расцвета древнекитайской математики наступил только во времена династии Сун (960–1279) и первого периода владычества монголов при Юане («Большом хане» из описания путешествия Марко Поло). Из числа ведущих математиков мы упомянем Цинь Цзю-шао, который развивал тогда уже давнюю теорию неопределенных уравнений (его книга датирована 1247 г.). Один из его примеров можно записать следующим образом:
.
Цинь занимался также численным решением уравнений высших степеней, например
.
Свои уравнения он решал методом, являющимся обобщением метода последовательных приближений, который применялся уже в «Девяти книгах» для вычисления квадратных и кубических корней. В этом методе мы узнаем прием, который в наших учебниках носит имя Горнера, опубликовавшего его в 1819 г., по-видимому, не зная, что он обнаружил метод, имеющий давность около тысячи лет.
Другим математиком периода Сун был Ян Хуэй, Он работал с помощью десятичных дробей и записывал их в виде, напоминающем нашу современную запись (его книга относится к 1261 г.). Одна из его задач приводит к равенству
.
У Ян Хуэя мы находим самые давние из дошедших до нас изображений треугольника Паскаля, который мы снова встречаем в книге Чжу Ши-цзе, написанной в 1303 г. Чжу, которого считают самым выдающимся из математиков этого периода, дает в своих книгах наиболее полное изложение китайских арифметико-алгебраических методов вычисления. Он даже переносит «матричное» решение системы линейных алгебраических уравнений на уравнения высших степеней с несколькими неизвестными, применяя методы, напоминающие Сильвестра.
В эпоху после династии Сун математическая деятельность хотя и продолжалась, но уже более не достигла такого расцвета. Вообще мы можем сказать, что в сложных арифметических и алгебраических вопросах математики различных стран Ближнего и Дальнего Востока вполне могут быть сравниваемы друг с другом.
Например, метод Горнера и десятичные дроби мы находим позже в книгах ал-Каши из Самарканда (около 1420 г.).