Целью всей математики является законченная в себе система положений, являющая собой синтетический априорный распорядок всего неподвижного, протяженного, т.е. то же непрерывное искание синтеза, которое мы встречаем в проблеме формы каждого изобразительного искусства, в борьбе каждого отдельного художника в своей области за техническое мастерство. Чувство формы скульптора, художника и композитора по существу является математическим... прирожденный математик становится в один ряд с великими мастерами фуги, резца и кисти.. царство чисел становится интуитивным отображением мировой формы, наряду с царством звуков, линий и красок. Поэтому слово "творческое" в приложении к математике имеет большее значение, чем в приложении к собственным наукам. "Математик, - говорит старик Вейерштрас, - в котором вместе с тем нет частицы поэта, не может быть совершенным математиком".
Итак, математика - тоже искусство. У нее есть свои стили и периоды стилей. как и всякое искусство, подвержена от эпохи к эпохе незаметным изменениям. Следовало бы при изображении развития больших искусств постоянно иметь в виду современную математику, что оказалось бы далеко не бесплодным.
5.
Теперь становится понятным, в чем отличие одной математики от другой, в особенности античной от современной. Согласно всему своему мирочувствованию зрелое античное мышление могло видеть в математике только ученье о соотношении величин, мер и форм физических тел. подробностях. Вся античность без исключения воспринимает числа как единицы меры, как величины, длины и поверхности. Другой род протяженности недоступен ее представлению. Вся античная математика в основе своей есть стереометрия. Античное число не есть мышление о пространственных отношениях, но мышление об отграниченных для телесного глаза, осязаемых единицах. Поэтому античность - это вытекает с полной необходимостью - знает только естественные (положительные, целые) числа, которые среди многих в высшей степени абстрактных родов чисел западной математики, как-то: комплексных, гиперкомплексных, неархимедовских и иных систем, занимают обычное, ничем не выделяющееся положение. Кто поймет страх, лежащий в основе этого мифа - тот же страх, который постоянно удерживал греков зрелого времени от расширения их крохотных городов-государств в политически организованные страны, от устройства широких проспектов и аллей с далеким видом и рассчитанным завершением, от вавилонской астрономии с ее устремлением в бесконечные звездные пространства, от преодоления границ Средиземного моря и исследования путей, давно открытых кораблями египтян и финикиян, эту глубокую метафизическую боязнь перед преодолением осязательно-чувственного и настоящего, при помощи которого античное существование окружило себя как бы защитной стеной, за пределами которой лежало что-то жуткое, бездна и первоисточник в известной мере искусственно созданного и утвержденного космоса, - кто поймет это чувство, тому станет понятным основная сущность античного числа, являвшего собой меру в противоположность неизмеримому, а также глубокий религиозный этос, выражающийся в этом ограничении. Все родившееся из античного духа становится действительностью только путем пластического отграничения. То, что нельзя нарисовать, - не "число". Платон, Архит и Эвдокс говорят о плоскостных и телесных числах, имея в виду нашу вторую или третью степень, и, само собой разумеется, что понятие высших целых степеней для них не существует.
Вавилонская и индийская математики давно уже усвоили в качестве существенных элементов своего мира чисел многое из того, что сточки зрения античного числового чувства являлось бы бессмысленным, и многие греческие мыслители знали об этом. Единая математика, повторяем это еще раз, есть иллюзия.
6.
Числа суть чистые формы познающего духа. Их точная применимость к реально созерцаемому является, следовательно, самостоятельной проблемой. Совпадение математических систем с эмпирикой далеко не есть нечто само собой понятное. эвклидова геометрия в самых только узких пределах ("на бумаге") приблизительным образом согласуется с созерцаемым. Как дело обстоит при больших расстояниях, видно из простого факта, что параллельные линии пересекаются на горизонте. Вся живописная перспектива основана на этом. Тем не менее Кант - уклонялся от "математики далеких пространств"..Эвклид также избегал ссылаться для доказательства справедливости своих аксиом на пример такого треугольника, три вершины которого определялись бы местонахождением наблюдателя и двумя неподвижными звездами.. Идеи Аристарха Самосского, около 270 г. начертавшего систему вселенной, были встречены античностью с полным равнодушием и вскоре - хочется сказать намеренно - были забыты. НО! Аристарх в качестве внешней границы космоса принимал телесно вполне ограниченный, оптически усвояемый пустой шар, в середине которого находится мыслимая в Коперниковом смысле планетная система... Мы не встречаем в античности ни одного намека на мысль о бесконечности мирового пространства...
... родственность системы чисел известной культуры с ее идеей мира, и благодаря такому соотношению система чисел становится чем-то большим, чем только знание и познание, и приобретает значение мировоззрения, следствием чего является существование стольких же математик - миров чисел - сколько существует высоких культур.
Принято говорить, что Диофант освободил античную арифметику от ее чувственной связанности, расширив и развив ее, и создал алгебру, как учение о неопределенных величинах.Диофант жил около 250 г. после Р.Х., следовательно в третьем столетии арабской культуры, У Диофанта число более не имеет значения меры или сути пластических вещей. Хотя Диофант и не знает еще нуля и отрицательных чисел, зато и пластические единства пифагорейских чисел ему также более уже незнакомы.
8.
Решающая роль деятельности Декарта, чья геометрия появилась в 1637 г., заключалась в окончательной концепции новой идеи числа, выразившейся в освобождении геометрии от оптических приемов конструкции и вообще от измеренных или измеряемых расстояний. Таким образом получил свое осуществление анализ бесконечного.
Классическим примером этого разрушения принятой по наследству оптически-конечной геометрии, по моему мнению, является обращение круговых функций, имевших в индийской математике в совершенно малопонятном для нас смысле значение чисел — в циклометрические функции и дальнейшее их разрешение в ряды, утратившие в бесконечной числовой области алгебраического анализа признаки даже самого отдаленного сходства с геометрическими образованиями в стиле Эвклида.
18.
Из этой величественной интуиции символических мировпространств вытекает последняя и заключительная формулировка западной математики, расширение и одухотворение теории функций и превращение ее в теорию групп.
Теперь на этой высочайшей точке достижения — истощив все свои внутренние возможности и исполнив свое назначение быть отражением и чистейшим выражением идеи фаустовской души — математика Запада заканчивает свое развитие, совершенно так же, как это сделала математика античной культуры в III веке. Обе эти науки — это единственные, чью органическую структуру уже в настоящее время можно проследить с исторической точки зрения, — возникли из совершенно новых числовых концепций Пифагора и Декарта, обе после столетия великолепного восхождения достигли зрелости и обе в течение трехсотлетнего расцвета завершили построение своих идей как раз к тому моменту, когда культура, к которой они принадлежали, перешла в цивилизацию мирового города.Нагляднее представить это положение поможет нижеследующая историческая схема.