Пусть 
- положительная функция и 
- какая-нибудь (вообще комплекснозначная) функция, определенные для достаточно больших значений 
. Запись
при 
означает, что найдутся такие числа 
и M, что при 
имеем 
.
Подобная запись употребляется и в других аналогичных случаях. Например, если 
- положительная функция и 
- какая-нибудь функция, определенные для достаточно малых положительных значений 
, то запись
при 
означает, что найдутся такие числа 
и 
, что 
на 
.
Вспомогательная лемма
Если 
дважды непрерывно дифференцируема на 
, то для функции
имеет место асимптотическое представление
при .
Докажем эту лемму. Заменяя на 
, получим:
. (26)
Рассмотрим интеграл, фигурирующий в первом слагаемом правой части формулы (20). Заменяя 
на , найдем:
,
но, заменив на 
, получим:
.
Если 
положительна, убывает и стремиться к нулю при , то 
и 
, а следовательно, и 
есть 
при , поэтому
при ,
откуда
при .
Итак, получаем асимптотическое представление:
при . (27)
Рассмотрим теперь интеграл, фигурирующий во втором слагаемом правой части формулы (20). Имеем:
,
.
Очевидно, 
дважды непрерывно дифференцируема на 
, но существуют 
и 
, поэтому становится непрерывно дифференцируема на . Интегрирование по частям дает:
,
где первое слагаемое правой части 
есть 
при , а интеграл во втором слагаемом несобственный при нижнем пределе мажорируется интегралом
,
который сходится, так как
при ;
следовательно, второе слагаемое есть тоже при .
Итак, имеем:
при . (28)
Из (26), (27), (28) получаем искомое асимптотическое представление:
при . (29)
Из этой формулы, переходя к сопряженным величинам, найдем еще:
при . (29`)
Формулы (29) и (29`) верны и для комплекснозначных функций 
.
Вывод асимптотической формулы для Jn(x)
Заменяя 
на 
, получим:
(учитывая, что 
есть четная функция от , а 
есть нечетная функция от ). Подстановка 
дает:
,
где 
есть, очевидно, полином n-й степени (полином Чебышева), так как из формулы Муавра видно, что 
есть полином n-й степени относительно 
. Но
и, заменяя в первом из этих интегралов на 
, получим:
Так как 
и 
на имеют производные всех порядков, то к двум последним интегралам применимы формулы (29) и (29`), и мы получаем:
;
но 
; 
, следовательно,
.
Итак, имеем искомое асимптотическое представление бесселевой функции первого рода с целым индексом для больших значений аргумента:
при . (30)
Эта формула показывает, что 
с точностью до слагаемого порядка 
является затухающей гармоникой с волной постоянной длины и амплитудой, убывающей обратно пропорционально квадратному корню из абсциссы.
В частности,
при ; (30`)
при . (30``)
Графики этих функций изображены ни рисунках 1 и 2.
Рассмотрим несколько примеров решения уравнения Бесселя.
1. Найти решение уравнения Бесселя при 
,
удовлетворяющее начальным условиям при 
, 
и 
.
Решение.
На основании формулы (5`) находим одно частное решение:
.
2. Найти одно из решений уравнения:
, 
.
Решение.
Сделаем замену
.
При 
получим:
.
При 
будем искать решение в виде обобщенного степенного ряда:
.
Уравнение на 
имеет вид 
;
, 
, 
, 
, поэтому
,
, 
.
Рисунок 1 – График функции y=J0(x)
Рисунок 2 – График функции y=J1(x)
Список литературы
1. Пискунов Н. С. «Дифференциальное и интегральное исчисления», учебное пособие для втузов, М: Наука, 1985г., 560 стр.
2. Романовский П. И. «Ряды Фурье. Теория поля. Аналитические и специальные функции. Преобразование Лапласа», учебное пособие для вузов, М: Наука, 1983г., 336 стр.