Постановка задачи
При исследовании операций в теории систем часто приходится сталкиваться с системами, предназначенными для многоразового использования при решении однотипных задач. Возникающие при этом процессы получили название процессов обслуживания, а системы – систем массового обслуживания (СМО).
Главная особенность процессов массового обслуживания – случайность. При этом имеются две взаимодействующие стороны – обслуживаемая и обслуживающая.
Примерами процессов этого типа являются:
1) обслуживание покупателей в сфере розничной торговли;
2) транспортное обслуживание;
3) медицинское обслуживание населения;
4) ремонт аппаратуры, машин, механизмов, находящихся в эксплуатации;
5) обработка документов в системе управления;
6) туристическое обслуживание.
Неотъемлемой частью системы массового обслуживания является узел обслуживания, через который осуществляется взаимодействие входного и выходного потоков заявок. В случае транспортного обслуживания каналом может считаться отдельная единица транспортного средства.
Вид графической модели зависит как от числа каналов n, так и от допустимой длины очереди m. По указанным признакам различается ряд типов СМО, перечисленных в табл. 1.1.
Таблица 1.1
Типы систем массового обслуживания
| № п/п | Параметры СМО | Тип СМО | |
| n | m | ||
| Одноканальная, без очереди | |||
| n > 1 | Многоканальная, без очереди | ||
| 1 < m <∞ | Одноканальная, с ограниченной очередью | ||
| n > 1 | 1 < m <∞ | Многоканальная, с ограниченной очередью | |
| m = ∞ | Одноканальная, с неограниченной очередью | ||
| n > 1 | m = ∞ | Многоканальная, с неограниченной очередью |
По числу обслуживающих каналов различают одноканальные и многоканальные СМО.
Находящиеся в СМО заявки могут либо ожидать обслуживания, либо находиться под обслуживанием. Часть заявок, ожидающих обслуживания, образует очередь.
В зависимости от целочисленного значения m используются следующие названия в классификации типов СМО:
1) m = 0 – без очереди;
2) m > 0 – с очередью.
Если число мест в очереди m является конечным, то в СМО могут происходить отказы в предоставлении обслуживания некоторым заявкам. В связи с этим СМО указанного типа называются системами с отказами. Отклоняются от обслуживания те заявки, в момент прихода которых все места в очереди случайно оказались занятыми, или, если m = 0, все каналы оказались занятыми. Считается, что заявка, получившая отказ в обслуживании, навсегда теряется для СМО. Таким образом, пропускная способность СМО этого типа всегда меньше 100 %.
Если m не ограничено, что иногда условно записывают как m = ∞, то соответствующая СМО называется системой с ожиданием. В СМО данного типа пришедшая заявка при отсутствии возможности немедленного обслуживания ожидает обслуживания, какой бы длинной ни были очередь и продолжительность времени ожидания.
Примеры решения задач систем массового обслуживания
Требуется решить задачи 1–3. Исходные данные приведены в табл. 1.2–1.4.
Некоторые обозначения, применяемые в теории массового обслуживания, для формул:
n – число каналов в СМО;
λ – интенсивность входящего потока заявок Пвх;
v – интенсивность выходящего потока заявок Пвых;
μ – интенсивность потока обслуживания Поб;
ρ – показатель нагрузки системы (трафик);
m – максимальное число мест в очереди, ограничивающее длину очереди заявок;
i – число источников заявок;
pк – вероятность k-го состояния системы;
pо – вероятность простаивания всей системы, т. е. вероятность того, что все каналы свободны;
pсист – вероятность принятия заявки в систему;
pотк – вероятность отказа заявке в принятии ее в систему;
роб – вероятность того, что заявка будет обслужена;
А – абсолютная пропускная способность системы;
Q – относительная пропускная способность системы;
– среднее число заявок в очереди;
– среднее число заявок под обслуживанием;
– среднее число заявок в системе;
– среднее время ожидания заявки в очереди;
– среднее время обслуживания заявки, относящееся только к обслуженным заявкам;
– среднее время пребывания заявки в системе;
ож – среднее время, ограничивающее ожидание заявки в очереди;
– среднее число занятых каналов.
Абсолютная пропускная способность СМО А – среднее число заявок, которое может обслужить система за единицу времени.
Относительная пропускная способность СМО Q – отношение среднего числа заявок, обслуживаемых системой в единицу времени, к среднему числу поступающих за это время заявок.
При решении задач массового обслуживания необходимо придерживаться нижеприведенной последовательности:
1) определение типа СМО по табл. 4.1;
2) выбор формул в соответствии с типом СМО;
3) решение задачи;
4) формулирование выводов по задаче.
Вариант выбирается следующим образом: две последние цифры зачетной книжки студента делятся с остатком на количество вариантов, представленных в таблицах. К остатку от деления прибавляется единица. Полученное число явится номером варианта для информации соответствующего вида.
Задача 1. В ИС поступают заявки с интенсивностью 0,9 заявки в час. Среднее время обслуживания одной заявки 0,7 часа. Определить показатели эффективности работы ИС: интенсивность потока обслуживаний, среднее число заявок в очереди, интенсивность нагрузки канала (трафик), вероятность, что канал свободен, вероятность, что канал занят, среднее число заявок в системе, среднее время пребывания заявки в очереди, среднее время пребывания заявки в системе (табл. 1.2).
Таблица 1.2