Урок обобщения и систематизации.

Знать/понимать

· существо понятия математического доказательства; примеры доказательств;

· существо понятия алгоритма; примеры алгоритмов;

· как используются математические формулы, уравнения и неравенства; примеры их применения для решения математических и практических задач;

Уметь

· составлять буквенные выражения и формулы по условиям задач; осуществлять в выражениях и формулах числовые подстановки и выполнять соответствующие вычисления, осуществлять подстановку одного выражения в другое; выражать из формул одну переменную через остальные;

· выполнять основные действия со степенями с целыми показателями, с многочленами и с алгебраическими дробями; выполнять разложение многочленов на множители; выполнять тождественные преобразования рациональных выражений;

· применять свойства арифметических квадратных корней для вычисления значений и преобразований числовых выражений, содержащих квадратные корни;

· решать текстовые задачи алгебраическим методом, интерпретировать полученный результат, проводить отбор решений, исходя из формулировки задачи;

использовать приобретенные знания и умения в практической деятельности и повседневной жизни для:

· выполнения расчетов по формулам, составления формул, выражающих зависимости между реальными величинами; нахождения нужной формулы в справочных материалах;

· моделирования практических ситуаций и исследования построенных моделей с использованием аппарата алгебры;

б) занимает центральное место в линии курса

в) Цель: решать квадратные уравнения и уравнения, сводящиеся к ним;

№ §	Содержание материала	Количество часов
	Глава IV .Квадратные уравнения
	Квадратное уравнение и его корни
	Неполные квадратные уравнения
	Метод выделения полного квадрата
	Решение квадратных уравнений
	Приведенное квадратное уравнение. Теорема Виета.
	Уравнения, сводящиеся к квадратным
	Решение задач с помощью квадратных уравнений
	Решение простейших систем, содержащих уравнение второй степени
	Обобщающие уроки

2. а) Латотин Л. А., Чеботаревский Б. Д., Математика в 8 классе 190, 2007

б ) Алгебра. 8 класс. Рабочая тетрадь к учебнику Алимова Ш.А. и др. - Колягин Ю.М. и др. (2010, 144с.)

3. анализ проводится по учебнику: Алгебра: учебник для 8 кл. общеобразовательных учреждений/ Ш.А. Алимов, Ю.М. Колягин, Ю.В. Сидоров и др.-М.: Просвещение, 1999 г. §25, 28

Понятие квадратного уравнения.

Квадратным уравнением называется уравнение ах²+bx+c=0(1), где a,b,c–заданные числа, а≠0, х – неизвестное.

Определение строгое, через род и видовые отличия, где уравнение–родовое понятие, вида ах²+bx+c=0, гдеa,b,c–заданные числа, а≠0, х – неизвестное-видовые отличия.

Теорема. Уравнение , где , имеет два корня: . Что при других значениях d?

Теорема существования корней. Теорема простая, доказательство строгое. Доказательство осуществляется с помощью определения арифметического корня и формулы разности квадратов двух чисел.

Формулы корней квадратного уравнения

Формулу называют формулой корней квадратного уравнения. Как выводится?

В этом параграфе также неявно выделены три теоремы:

1) Если , то уравнение имеет два действительных корня: , .

2) Если , то уравнение имеет один действительный корень .

3) Если , то уравнение не имеет действительных корней.

На основе этого можно сформулировать алгоритм решения квадратного уравнения:

1. Вычислить дискриминант по формуле .

2. Если , то уравнение не имеет действительных корней.

3. Если , то уравнение имеет один действительный корень .

4. Если , то уравнение имеет два действительных корня: , .

В этом параграфе также приведена формула корней квадратного уравнения с четным вторым коэффициентом.

Она доказывается с помощью подстановки в общую формулу корней квадратного уравнения.

a. Определение квадратного уравнения вводится через род и видовые отличия

b. Понятие квадратного уравнения является ведущим.

c. В этой теме сейчас отражены следующие методологические знания математики как науки. Это, решение простейшего квадратного уравнения и проверка полученных корней; это способ исследования уравнений по установлению числа корней – как основа для решения уравнений с параметрами; новые способы разложения квадратного трехчлена на множители на основе вычисления его корней или путем выделения полного квадрата.

d. Теорема существования корней (Теорема 1). При доказательстве теоремы1 используются понятие квадратного уравнения, понятие арифметического квадратного корня и формула разложения разности квадратов. Доказательство связано с предыдущей темой – арифметический квадратный корень. Новизна небольшая.

e. Методологические знания: идея обобщенного способа решения квадратных уравнений, способ исследования уравнений по установлению числа корней.

f. Выделены формулы нахождения корней квадратного уравнения общего вида, уравнения вида х²=d

4. Изложение дедуктивное, доказательство строгое, школьники готовы к дедуктивному восприятию, поскольку метод разложения на множители, общая формула и метод выделения полного квадрата ученикам известны.

5. Центральным является понятие квадратного уравнения. Формула корней квадратного уравнения общего вида выводится методом выделения полного квадрата. Формула корней квадратного уравнения с четным коэффициентом выводится с помощью предыдущей формулы.

6. Переконструированние не требуется.

7. Имеется возможность включить школьников в поиск доказательства теоремы о существовании корней уравнения вида . Необходимости привлечения дополнительного материала с целью знакомства с историей развития нет.

8. Мотивировать учащихся можно, дав им задачу, которая решается с помощью квадратного уравнения. Возникнет проблемная ситуация (как решить данное уравнение?). Вывод формулы корней квадратного уравнения мотивировать можно тем, что удобно вывести единую формулу для решения всех квадратных уравнений, чтобы не подбирать отдельный способ для каждого уравнения.

9. Познакомиться с новым видом уравнений – квадратными. Найти способ для решения квадратного уравнения общего вида.

9 баллов

Анализ задачного материала.

Все задачи делятся на следующие группы:

- устные и простые письменные задачи на определение (№401-405). Для решения задач этой группы надо знать определение квадратного уравнения, уметь записывать квадратное уравнение по его коэффициентам.

№401. (устно.) Какие из данных уравнений являются квадратными:

1) ;

2) ;

3) ;

4) ;

5) ;

6) ?

Ответ: 1), 2), 3), 6).

- устные и письменные задачи на применение теоремы 1. (№406-410, №529). Для решения задач этой группы надо уметь применять теорему 1 и уметь находить арифметический корень из числа.

№408. Найти корни уравнения: 1) , 2) , 3) , 4) , 5) , 6) .

Ответ: 1) , 2) , 3) , 4) , 5) , 6) .

Есть ли задачи на другие случаи d?

- задачи в одно действие на применение общей формулы квадратного уравнения и на применение формулы квадратного уравнения с четным вторым коэффициентом (№433-437, №439-440, №444, №446, №529-531). Для решения задач это группы надо знать и уметь применять общую формулу корней квадратного уравнения и формулу квадратного уравнения с четным вторым коэффициентом.

№434. Решить квадратное уравнение:

1) ; 2) ;

3) ; 4) ;

5) ; 6) .

Решение: 1) , , .

2)-6) – решаются аналогично.

Ответ: 1) , 2) , 3) , 4) , 5) , 6) . Рассматриваются ли все возможные случаи на D? Есть ли уравнения с иррациональными корнями?

- задачи, требующие дополнительное анализирование или применение техники (№411, №438, №442-443, №445, №447, №532). В эту группу входят задачи, которые нужно решить с помощью калькулятора и уметь анализировать квадратного уравнение (то есть знать зависимость количества корней от знака дискриминанта).

№438. Не решая уравнения, определить, сколько корней оно имеет:

1) ; 2) ;

3) ; 4) .

Решение: 1) , значит два корня.

2)-4) – решаются аналогично.

Ответ: 1) два корня, 2) два корня, 3) один корень, 4) нет действительных корней.

- задачи, решение которых требует доказательства (№413, №416, №448-449). Это самые сложные задачи. Для решения этих задач требуется знать не только теоретический материал, но и уметь рассуждать.

№416. Доказать, что если число - корень уравнения , где , то число - корень уравнения