Тема: «Квадратное уравнение и его решение».

Учебник: Алгебра: Учеб.для 8 кл. общеобразоват. учреждений \ Ш.А. Алимов, Ю.М. Колягин, Ю.В. Сидоров и др. – 6-е изд., дораб. – М.: Просвещение, 1999. – 225 с.Глава IV.

Тип урока: обобщения и систематизация.

Учебная задача урока:

1) Систематизация и обобщение изученного материала по теме: «Квадратное уравнение и его решение».

2) Совершенствование умений и навыков учащихся по решению квадратных уравнений.

Диагностируемые цели:

В результате ученик

знает:

1. Понятие квадратного уравнения;

2. Виды квадратных уравнений и способы их решения;

3. Метод выделения полного квадрата;

4. Теорему Виета и её доказательство;

5. Теорему, обратную теореме Виета;

6. Понятие дискриминанта;

7. Формулы для вычисления корней квадратного уравнения;

8. Способ разложения квадратного трёхчлена на множители.

умеет:

1. Выделяет квадратное уравнение из других;

2. Решать квадратное уравнение методом выделения полного квадрата;

3. Решать квадратные уравнения различных видов, в том числе с помощью формул;

4. Применять теорему Виета и обратную ей;

5. Раскладывать квадратный трехчлен на множители;

6. Применять различные способы преобразования уравнений, сводящихся к квадратным уравнениям;

7. Решать задачи с помощью квадратного уравнения;

8. Решать простейшие системы с уравнениями второй степени.

понимает:

1. Что способ решения квадратного уравнения зависит от его вида;

2. Роль дискриминанта в исследовании числа корней квадратного уравнения;

3. Смысл теоремы Виеты и обратной ей;

4. Основные этапы процесса составления квадратного уравнения при решении текстовых задач;

5. Смысл разложения квадратного уравнения на множители;

6. Какие существуют типы текстовых задач, решение которых сводится к составлению квадратного или дробно-рационального уравнения.

Методы обучения: репродуктивный, частично-поисковые, метод УДЕ.

Форма работы: фронтальная.

Средства обучения: мел, доска, учебник, листы с заданиями, канва-таблица, презентация.

Структура урока:

1. Мотивационно-ориентировочный этап (5мин.),

2. Содержательный этап (30 мин.),

3. Рефлексивно-оценочный этап (5 мин.).

Ход урока:

1. Мотивационно-ориентировочный этап.

Актуализация.

На протяжении всего урока заполняется канва-таблица.

На доске записаны задания. Работа идет устно со всем классом.

№1. Какие из данных уравнений являются а) квадратными? б) уравнения, сводящиеся к квадратным? в) неполными квадратными? г) приведенными квадратными?

Ответ: а) 1, 2, 4, 6; б) 5; в) 1, 6; г) 2

-Сформулируйте определение квадратного уравнения.

(Квадратным уравнением называется уравнение , где - заданные числа, , - неизвестное.)

(в канву-таблицу1 записывается определение квадратного уравнения).

-Какие существуют виды неполных квадратных уравнений? Каковы способы их решения?

1) , а ≠0

а) , тогда

б) , тогда , или .

2) а ≠0

Раскладываем левую часть на множители:

, откуда ,

Выполняются соответствующие записи в канве-таблице1.

-Какое квадратное уравнение называется приведённым?

(Квадратное уравнение вида называется приведенным)

Делаются соответствующие записи в канве-таблице1: полные уравнения делятся на уравнения, у которых старший коэффициент ¹ 1 и приведённые.

-Ребята, любое ли полное квадратное уравнение можно сделать приведенным? Как? (да, поделить на старший коэффициент).

№2. Сколько корней имеет уравнение , если а) ; б) ; в) ?

Ответ: а) один корень; б) нет действительных корней; в) два различных корня.

-Как вы это определили? (нашли дискриминант ).

-итак, если , уравнение имеет один корень. Если , то уравнение не имеет действительных корней. Если , то два действительных корня.

Делаются соответствующие записи в канву-таблицу1.

№3. Решить уравнение: а) ; б) ; в)

Решение:

а) ,

-Ребята, вспомните формулу корней квадратного уравнения общего вида. (). Запишите её в канву-таблицу.

, .

б)

-Ребята, вспомните формулу корней с четным средним коэффициентом. ()

Запишите формулу корней с четным средним коэффициентом в канву-таблицу. ()

в)

-Вспомните формулу корней приведенного квадратного уравнения. ()

Запишите формулу корней приведенного квадратного уравнения. ()

Мотивация.

-Вы находитесь в конце изучения большой темы «Квадратное уравнение и его решения». Изучили много понятий, формул, теорем. На следующем уроке будет контрольная работа. Поэтому нужно подвести итог всему, что вы узнали о квадратных уравнениях.

Постановка учебной задачи урока.

- Цель сегодняшнего урока: провести систематизацию и обобщение изученного материала по теме: «Квадратное уравнение и его решение», вспомнить основные виды задач по данной теме и способы их решения.

Тема урока «Квадратное уравнение и его решение» (учитель записывает на доске, а ученики в тетрадях).

Содержательный этап.

Работа идет фронтально, письменно, ученики по очереди вызываются к доске.

№4. Не вычисляя корней и уравнения , найдите

-Ребята, чему, по теореме Виета, равна сумма корней? (сумма корней приведенного квадратного уравнения равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком).

-А произведение корней чему равно? (произведение корней равно свободному члену).

Выполняются соответствующие записи в канве-таблице2.

Ответы:

По теореме Виета:

Первое уравнение системы возводим в квадрат:

Мы знаем, что (второе уравнение системы), тогда

Ответ: .

-Ребята, сформулируйте теорему, обратную теореме Виета. (. Если числа таковы, что , то и - корни уравнения )

Выполняются соответствующие записи в канве-таблице2.

№5. Составьте квадратное уравнение по его корням.

а) 5 и 2; б) и

решение:

а) (по теореме, обратной теореме Виета), тогда

б) (по теореме, обратной теореме Виета), тогда .

-Ребята, давайте подумаем, как будет формулироваться теорема Виета, если уравнение не будет приведенным?

(сумма корней квадратного уравнения равна коэффициенту при , взятому с противоположным знаком и деленному на коэффициент при ; произведение корней этого уравнения равно свободному члену, деленному на коэффициент при : , ).

-Эта теорема называется обобщенной теоремой Виета. Ребята, как тогда будет формулироваться теорема, обратная обобщенной теореме Виета?

(Если выполняются равенства , , то числа и являются корнями квадратного уравнения ).

-Ребята, мы знаем ещё одну теорему, теорему о разложении квадратного трехчлена на множители. Сформулируете её. (Если и - корни квадратного уравнения , то при всех справедливо равенство )