Порядок исследования функции на возрастание и убывание.

Лекция 10. Приложения производной.

План лекции

10.1. Некоторые теоремы о дифференцируемых функциях и их приложения.

10.2. Применение производной к вычислению пределов функций. Правила Лопиталя.

10.3. Формула Тейлора.

10.4. Исследование функции на возрастание, убывание и экстремумы.

10.5. Выпуклость, вогнутость графика функции, точки перегиба.

10.6. Асимптоты к графику функции.

10.7. Примерный план исследования функции.

10.1

Если функция имеет производную в точке , т.е. если существует конечный , то мы говорим, что при данном значении функция дифференцируема. Если функция дифференцируема в каждой точке некоторого отрезка или интервале , то говорят, что она дифференцируема на отрезке или, собственно, в интервале .

Теорема 1. Если функция дифференцируема в некоторой точке , то она в этой точке непрерывна.

Замечание. Обратное утверждение неверно, т.е. из того, что функция в точке непрерывна не следует, что она дифференцируема в этой точке.

Например, функция определена и непрерывна для всех значений независимого переменного . Однако, эта функция не имеет производной в точке .

Действительно,

Т.к. при не существует конечного предела , то функция не дифференцируема в точке . Касательная к кривой в этой точке образует с осью абсцисс угол , т.е. совпадает с осью .

Теорема 2 (Теорема Ферма). Если функция определенная в интервале , достигает в некоторой внутренней точке этого интервала наибольшего (или наименьшего) значения и существует производная , то .

Геометрический смысл теоремы. Касательная к графику функции в точке с абсциссой параллельна оси Ox.

Физический смысл теоремы. При равноускоренном движении тела по прямой (вверх), в момент начала возврата, скорость равна нулю (как производная пути по времени).

Внутренние точки области определения, в которых производная функции равна нулю или не существует называются критическими точками.

Замечание 1. Все условия теоремы Ферма существенны.

Например, функция в промежутке достигает в точке наименьшего значения, но её производная в этой точке равна 1 (не выполнено условие, что точка внутренняя точка интервала).

Замечание 2. Из теоремы Ферма следует правило отыскания наибольшего или наименьшего значений функции на отрезке :

1) найти область определения функции и проверить принадлежность отрезка области определения;

2) найти производную функции;

3) найти критические точки принадлежащие отрезку ;

4) вычислить значение функции в критических точках отрезка и на концах отрезка ;

5) из вычисленных значений выбрать наибольшее и наименьшее.

Теорема 3 ( Теорема Роля). Если функция непрерывная на сегменте (или по крайней мере в точке a справа, в точке b слева) и дифференцируемая в интервале , принимает на концах этого сегмента равные значения , то в интервале существует точка , такая, что

Геометрический смысл теоремы Роля. Если крайние ординаты кривой равны, то на кривой найдется точка, где касательная параллельна оси абсцисс.

Замечание 1. Все условия теоремы Ролля существенны.

Действительно, приведём примеры функций, для которых будет не выполнено одно из условий теоремы.

Рассмотрим функцию на . Функция в точке терпит разрыв (не выполнено условие непрерывности). В интервале для этой функции , т.е. функция дифференцируема. На концах этого сегмента функция принимает равные значения . Однако, в интервале не существует точки, в которой бы выполнялось условие .

Для функции на отрезке непрерывна, , но функция не имеет производной в точке интервала . Для этой функции в интервале нет точки, в которой .

Для функции , которая на - непрерывна, дифференцируема, но условие не выполнено (), также нет точки в интервале , в которой .

Замечание 2. Т.к. из дифференцируемости во всех внутренних точках вытекает, что непрерывна во всех внутренних точках, поэтому вместо непрерывности на отрезке можно было бы потребовать непрерывность справа в точке a и слева – в точке b.

Теорема 4 (Теорема Лагранжа). Если функция непрерывна на отрезке и дифференцируема в интервале , то в интервале найдется такая точка , что

. (10.1)

Геометрический смысл теоремы. На графике функции между точками и есть внутренняя точка , в которой касательная к графику функции параллельна хорде .

Замечание 1. Все условия теоремы Лагранжа существенны.

Замечание 2. Теорема Лагранжа является обобщением теоремы Роля, т.к. если , то из (10.1) следует .

Замечание 3. Формула (10.1) называется формулой Лагранжа или формулой конечных приращений.

Теорема 5 (Теорема Коши). Если функции и непрерывны на отрезке , дифференцируемы по в интервале и в этом интервале, то в интервале существует такая точка , что имеет место равенство

. (10.2)

Замечание 1. Теорема Лагранжа является частным случаем теоремы Коши, если .

Замечание 2. Геометрическая интерпретация теоремы Коши та же, что и теоремы Лагранжа.

10.2

Теорема 6 (Правило Лопиталя 1). Пусть функции и непрерывны на , дифференцируемы в , внутри отрезка (то есть и отвечают условиям теоремы Коши) и обращаются в нуль в точке : , тогда если существует , то существует и , причем .

Замечание 1. Теорема имеет место и если функции и не определены при , но .

Замечание 2. Правило Лопиталя применимо и в том случае, если и .

Замечание 3. Сформулированное правило Лопиталя служит для раскрытия неопределённости вида при вычислении пределов функций.

Замечание 4. Правило Лопиталя можно последовательно применять любое конечное число раз, если сохраняется неопределённость .

Теорема 7 (Правило Лопиталя 2). Пусть функции и непрерывны и дифференцируемы при всех в окрестности точки , причем производная , и пусть и существует . Тогда существует и , причём .

Замечание 1. Если , то теорема справедлива и в этом случае.

Замечание 2. Теорема распространяется и на случай, когда , т.е. .

Для раскрытия других типов неопределённостей (, , , , ) при вычислении пределов для применения правил Лопиталя эти неопределённости должны быть обязательно сведены к одному из двух видов или .

10.3

Теорема 8. Пусть в интервале функция имеет производные до -го порядка включительно. Тогда для всякого этого интервала и фиксированного этого интервала имеет место формула ,

где находится между x и a, т.е. , где .

Замечание 1. Записанная формула носит название формулы Тейлора.

Замечание 2. При получается частный случай формулы Тейлора - формула Маклорена

где , – остаточный член в форме Маклорена.

Замечание 3. Формула Тейлора может применяться для приближенных вычислений.

Разложим некоторые из функций по формуле Тейлора.

;

10.4

Функция называется неубывающей (невозрастающей) в интервале , если , из неравенства следует выполнение неравенства . Такие функции называются монотонными.

Теорема 9. Если функция , дифференцируемая в интервале , неубывающая (невозрастающая) на нем, то ее производная в этом интервале не отрицательна (не положительна), т.е. .

Доказательство. Пусть x – произвольное значение из интервала . Придадим этому значению x приращение такое, чтобы .

Если - неубывающая функция, то при и при , то есть .

Если - невозрастающая, то при и при , то есть .

Теорема 10. Если функция , дифференцируемая в интервале , удовлетворяет в нем условию , то эта функция возрастает (убывает) на интервале .

Доказательство. По формуле Лагранжа для произвольных и из имеем:

где . Следовательно, если в , то , то есть , отсюда следует, что функция возрастает. Если в , то , то есть , отсюда следует, что функция убывает.

Замечание. Теоремы 9 и 10 составляют признак возрастания и убывания функции.

Из сформулированных теорем следует

Порядок исследования функции на возрастание и убывание.

1. Находим область определения функции.

2. Вычисляем производную функции.

3. Определяем критические точки.

4. Область определения функции разбиваем критическими точками на промежутки и определяем знак производной на каждом полученном промежутке (с помощью метода интервалов).

5. Делаем выводы о возрастании и убывании функции.

Говорят, что функция имеет в точке максимум (минимум), если существует такая окрестность этой точки , что для всех из этой окрестности, отличных от , выполняется неравенство .

Точки максимума и минимума функции называется точками экстремума. Значения функции в точках экстремума называются экстремумами функции. По определению максимумы и минимумы функций могут достигаться лишь внутри области определения. Максимумы и минимумы в отличие от наибольшего и наименьшего значений – это локальные понятия.

Теорема (необходимое условие экстремума). Если дифференцируемая в интервале функция имеет в точке экстремум, то ее производная в этой точке равна нулю, т.е. _.

Доказательство. Предположим для определенности, что в точке функция имеет максимум. Тогда при достаточно малых по абсолютной величине приращениях : , то есть .Тогда при ; при .

По определению производной . Если имеет производную при , то предел не зависит от того, как стремится к нулю. Но если , оставаясь отрицательным, то . Если , оставаясь положительным, то . Два последних неравенства совместимы, если . Аналогично доказывается для минимума.

Замечание 1. Это лишь необходимое условие.

Например, для функции , но в точке экстремума нет.

Необходимое условие экстремума позволяет выделить точки «подозрительные» на экстремум, т.е. круг точек, которые следует исследовать на экстремум с помощью достаточных условий. Точки, для которых необходимое условие не выполнено не могут быть точками экстремума.

Выделяют два достаточных условия экстремума функции, одно из них использует производную первого порядка, а второе – производную второго порядка.

Теорема (первое достаточное условие существования экстремума). Пусть функция непрерывна в некотором интервале, содержащем критическую точку , и дифференцируема во всех точках этого интервала (кроме, быть может, самой точки ). Если при переходе через эту точку производная меняет знак с «+» на «-» (с «-» на «+») в направлении возрастания аргумента, то функция имеет в этой точке максимум (минимум).

Доказательство. Предположим, что производная меняет знак с «+» на «-», то есть для всех , достаточно близких к выполнены условия:

при и при .