1. Находим область определения функции.
2. Вычисляем производную функции.
3. Определяем критические точки.
4. Область определения функции разбиваем критическими точками на промежутки и определяем знак производной на каждом полученном промежутке (с помощью метода интервалов).
5. Делаем выводы о наличие точек экстремума.
6. Вычисляем сами экстремумы функции, т.е. значения функции в точках экстремума.
Замечание. Отметим, что пункты 1-4 совпадают с порядком исследования функции на возрастание и убывание. Поэтому, исследование функции на возрастание-убывание и экстремумы рекомендуется выполнять для функции одновременно.
Теорема (второе достаточное условие экстремума). Пусть функция имеет в точке
и её окрестности непрерывные первую и вторую производные, причём
,
. Тогда функция
имеет в точке
минимум (максимум), если
.
Доказательство. Пусть . Так как
непрерывна в точке
, то
и в некоторой окрестности точки
. В этой окрестности точки
функция
возрастает, так как
. Но
. Следовательно, при переходе через точку
в направлении возрастания
меняет знак с «-» на «+», поэтому
имеет в точке
минимум.
Доказательство в случае аналогично.
Замечание. Второе достаточное условие имеет более узкую область применения, так как часто при и
.
Для сформулированного достаточного условия экстремума выделим
Порядок исследования функции на экстремум.
1. Находим область определения функции.
2. Вычисляем первую и вторую производные функции.
3. Определяем критические точки.
4. Вычисляем значения второй производной в критических точках
5. Делаем выводы о наличие точек экстремума.
6. Вычисляем сами экстремумы функции, т.е. значения функции в точках экстремума.
10.5
График функции называется выпуклым (вогнутым) на интервале
, если соответствующий участок кривой
расположен ниже (выше) касательной, проведённой в любой точке
этого графика (Рисунок 10.1).
Точка графика дифференцируемой функции называется точкой перегиба, если при переходе через эту точку график меняет выпуклость на вогнутость или наоборот.
Очевидно, что в точке перегиба касательная, если она существует, пересекает кривую, так как с одной стороны от этой точки кривая лежит под касательной, а с другой – над нею.
Теорема (достаточное условие выпуклости и вогнутости функции). Если во всех точках интервала вторая производная функции
отрицательна, то есть
, то кривая на этом интервале выпуклая; если
, то кривая на этом интервале вогнутая.
Доказательство. Возьмем в интервале произвольную точку
и проведем в этой точке касательную. Пусть уравнение кривой
, (10.3)
уравнение касательной
. (10.4)
Из (10.3) и (10.4) следует . Применяя теорему Лагранжа к разности
, получим
, где
лежит между
и
, или
.
Применяя теорему Лагранжа к разности , получаем
, (10.5)
где лежит между
и
.
Если , тогда
. Так как
и по условию
, то
.
Если , тогда
. Так как
и по условию
, тогда из (10.5) следует
.
Таким образом, доказали, что любая точка кривой лежит ниже касательной для любых и
из
, то есть кривая выпукла.
Аналогично доказывается вторая часть теоремы.
Теорема (достаточное условие существования точек перегиба). Пусть кривая определяется уравнением . Если
или
не существует и при переходе через значение
производная
меняет знак, то точка кривой с абсциссой
есть точка перегиба.
Замечание. Внутренние точки области определения функции, в которых или
не существует называют критическими точками второго рода.
Доказательство. Пусть при
и
при
. Тогда при
кривая выпукла, а при
- вогнута. Следовательно, точка кривой с абсциссой
есть точка перегиба.
Пусть при
и
при
, то при
кривая вогнута, при
кривая выпукла, то есть точка кривой с абсциссой
- точка перегиба.
Рассмотренные теоремы в этом пункте позволяют сформулировать