Порядок исследования функции на экстремум.

1. Находим область определения функции.

2. Вычисляем производную функции.

3. Определяем критические точки.

4. Область определения функции разбиваем критическими точками на промежутки и определяем знак производной на каждом полученном промежутке (с помощью метода интервалов).

5. Делаем выводы о наличие точек экстремума.

6. Вычисляем сами экстремумы функции, т.е. значения функции в точках экстремума.

Замечание. Отметим, что пункты 1-4 совпадают с порядком исследования функции на возрастание и убывание. Поэтому, исследование функции на возрастание-убывание и экстремумы рекомендуется выполнять для функции одновременно.

Теорема (второе достаточное условие экстремума). Пусть функция имеет в точке и её окрестности непрерывные первую и вторую производные, причём , . Тогда функция имеет в точке минимум (максимум), если .

Доказательство. Пусть . Так как непрерывна в точке , то и в некоторой окрестности точки . В этой окрестности точки функция возрастает, так как . Но . Следовательно, при переходе через точку в направлении возрастания меняет знак с «-» на «+», поэтому имеет в точке минимум.

Доказательство в случае аналогично.

Замечание. Второе достаточное условие имеет более узкую область применения, так как часто при и .

Для сформулированного достаточного условия экстремума выделим

Порядок исследования функции на экстремум.

1. Находим область определения функции.

2. Вычисляем первую и вторую производные функции.

3. Определяем критические точки.

4. Вычисляем значения второй производной в критических точках

5. Делаем выводы о наличие точек экстремума.

6. Вычисляем сами экстремумы функции, т.е. значения функции в точках экстремума.

10.5

График функции называется выпуклым (вогнутым) на интервале , если соответствующий участок кривой расположен ниже (выше) касательной, проведённой в любой точке этого графика (Рисунок 10.1).

Точка графика дифференцируемой функции называется точкой перегиба, если при переходе через эту точку график меняет выпуклость на вогнутость или наоборот.

Очевидно, что в точке перегиба касательная, если она существует, пересекает кривую, так как с одной стороны от этой точки кривая лежит под касательной, а с другой – над нею.

Теорема (достаточное условие выпуклости и вогнутости функции). Если во всех точках интервала вторая производная функции отрицательна, то есть , то кривая на этом интервале выпуклая; если , то кривая на этом интервале вогнутая.

Доказательство. Возьмем в интервале произвольную точку и проведем в этой точке касательную. Пусть уравнение кривой

, (10.3)

уравнение касательной

. (10.4)

Из (10.3) и (10.4) следует . Применяя теорему Лагранжа к разности , получим , где лежит между и , или

Применяя теорему Лагранжа к разности , получаем

, (10.5)

где лежит между и .

Если , тогда . Так как и по условию , то .

Если , тогда . Так как и по условию , тогда из (10.5) следует .

Таким образом, доказали, что любая точка кривой лежит ниже касательной для любых и из , то есть кривая выпукла.

Аналогично доказывается вторая часть теоремы.

Теорема (достаточное условие существования точек перегиба). Пусть кривая определяется уравнением . Если или не существует и при переходе через значение производная меняет знак, то точка кривой с абсциссой есть точка перегиба.