Задача про касательную к графику функции

Задача про мгновенную скорость

Пусть материальная точка М двигается прямолинейно по закону S=f(t)

В момент времени t₀ она приняла положение М₀ и прошла путь S₀ = f(t₀).

Найдем скорость точки в момент времени t₀.

Допустим, что за произвольно выбранный промежуток времени ∆t, начиная с момента t₀, точка переместилась на расстояние ∆S и приняла положение М₁.

Тогда t₁=t₀+∆t, S₁=S₀+∆S.

За промежуток времени ∆t материальная точка проделала путь:

∆S = f(t₁) - f(t₀) = f(t₀+∆t)- f(t₀)

Средняя скорость (V_ср.) движения на промежутке М₀М₁:

V_ср. =

Эта величина дает лишь приближенное представление о скорости движения материальной точки на рассмотренном промежутке. Она будет более точной, если промежуток ∆t будет уменьшаться.

Т.о., можно считать, если ∆t→0, то V_ср. →к скорости в момент времени t_0.

О: Мгновенной скоростью точки, которая двигается прямолинейно, в момент времени t₀, называется предел средней скорости при условии, что ∆t→0.

.

∆t - приращение времени,

∆S - приращение пути.

 

Итак V_мгн. точки, которая двигается прямолинейно, есть предел отношения приращения пути к приращению времени, при условии ∆t→0.

Пример 1: Точка двигается прямолинейно по закону S(t)=5t²+t+3 (S -путь в м, t-время в секундах). Найти скорость точки: а)в произвольный момент t₀, б) в момент времени t=2с.

 

Задача про касательную к графику функции

 

Определение касательной к окружности, данное в курсе геометрии 7-9 кл. нельзя перенести на любые кривые (параболу, гиперболу, синусоиду и т.д.)

1) Ось Оу имеет единственную точку с функцией у=х³,

но она не касательная.

 

 

2) Функции у=1 и у=Sinx имеют множество общих точек,

однако прямую у=1 считают касательной.

 

О: Касательной АТ к графику функции у = f(x) в т.А называется предельное положение секущей АМ, когда т.М, двигаясь по кривой, приближается к т.А

 

 

! Не во всякой точке кривой можно провести касательную.

Например:

Если т.М → т.А по левой части кривой, то секущая МА займет место АQ.

Если т.N→ т.А по правой части кривой, секущая NA займет место АТ.

Получаем две разные прямые AQ и АТ => в т. А

к кривой касательной не существует.

 

Касательная - это прямая, а положение прямой у=kx+b, которая проходит через т.А(х₀;у₀) определяется угловым коэффициентом прямой к=tgα, где α - угол между прямой и положительным направлением оси Ох.

 

! Провести касательную к графику, значит найти число k.

 

Пусть в т.А (х₀;у₀) кривой у=f(х) существует касательная, определим угловой коэффициент. Для этого:

1. пусть х=х₀+∆х;

2. найдем ∆у = f(х₀+∆х)-f(х₀);

3. найдем

Из ∆АМК: ()

4. если ∆х→0, то ∆у→0 и М → А

При этом АМ будет поворачиваться вокруг т. А и перейдет в АТ.

Значит

 

Сделав анализ решения рассмотренных задач (о мгновенной скорости и проведении касательной к кривой в определенной точке), приходим к выводу, что все они решаются одним и тем же способом, состоящим из четырех шагов:

1. независимой переменной x придаем приращение Δ x;

2. находим приращение зависимой переменной Δ y;

3. составляем отношение ;

4. находим .

Отношение при этом определяет среднюю скорость изменения функции, а - скорость изменения функции при данном значении аргумента х, или, что одно и то же в точке х.

Так как с помощью решают кроме рассмотренных еще много других важных задач (например, задача о скорости протекания химической реакции, задача о нахождении линейной плотности неоднородного стержня, задача о величине теплоемкости тела при его нагревании, задача об угловой скорости вращающегося тела и др.), то целесообразно всесторонне изучить этот предел, в частности указать способы его вычисления. При этом переменные х и у приходится рассматривать абстрактно, не вкладывая в них конкретного смысла, т.е. обобщить способ решения рассматриваемого вида задач.

Предел в математике называют производной.

 

 

Закрепление материала (решение задач)

Задача №1. Точка двигается прямолинейно по закону S(t) = 3t²-4t+2.

Найти: а) V_мгн. в t₀; б) V_мгн. в t₀=1с.

Задача №2. Точка двигается по закону S(t) = (свободное падение).

Найти: а) V_мгн. в t₀; б) V_мгн. в t₀=1с.

Задача №3. Точка двигается по закону S(t) = (м)(равноускоренное движение)

Найти: а) V_мгн. в t₀; б) V_мгн. в t₀=1с.

 

Задача №4. Найти угловой коэффициент касательной к параболе у = х² - 4х, в точке х=2,5.