Статистическая проверка гипотез

Лекция 7

Статистической гипотезой называется предположение о виде закона распределения случайной величины. Проверка гипотез осуществляется с помощью статистических критериев. Статистический критерий – это правило, по которому принимается решение о гипотезе. Известны критерии Стьюдента, Фишера, а также, наиболее популярный критерий Пирсона («кси в квадрате»), который имеет вид:

(расчетное значение £ табличного),

где – число интервалов разбиения случайной величины; – теоретическая вероятность и – относительная частота попадания случайной величины в -й интервал, – объем выборки.

Табличное значение критерия Пирсона имеется в прил. 5 при заданной доверительной вероятности . Число степепей свободы рассчитывают как , где – число параметров закона распределения, определяемых по выборке.

В случае равномерного, экспоненциального закона, а также распределения Пуассона , так как по выборке определяется один параметр – математическое ожидание. В случае нормального распределения , так как по выборке оцениваются два параметра – математическое ожидание и дисперсия.

Найденное по формуле значение сравнивается с табличным. Если , то гипотеза о виде распределения принимается, в противном случае она отвергается.

Пример 1. В результате семи независимых измерений некоторой физической величины получены опытные данные: Y ={12, 40, 27, 24, 28, 33, 18}. Определить к какому из законов распределения относится распределение случайной величины при доверительной вероятности .

Решение: Найдем числовые характеристики величины Y:

. Итак, , .

Принимаем . Поскольку x_min =12, x_max =40, то по формуле находим значение случайной величины на правой границе каждого из четырёх участков. Находим К_і, . Сводим все значения в табл. 1.

Таблица 1.

№	Границы участка	Частота, K _i	Относительная частота, k _i	p _i при равномером законе	p _i при экспоненциальном законе	p _i при нормальном законе
	12£ x <19		0,29	0,25	0,15	0,1581
	19£ x <26		0,14	0,25	0,12	0,2764
	26£ x <33		0,43	0,25	0,08	0,2764
	33£ x £40		0,14	0,25	0,07	0,1581

а) Проверяем гипотезу о равномерном распределении.

– определяем вероятность попадания в заданный диапазон при равномерном законе распределения, используя формулу из прил. 3:

; ;

; .

– определяем критерий Пирсона по формуле:

– определяем табличное значение критерия Пирсона при доверительной вероятности с помощью метода линейной интерполяции.

В прил. 5 критерий Пирсона дан не для всех значений доверительной вероятности. Если заданное значение в таблице отсутствует, то находим в таблице те графы, между которыми оно находится. Для равномерного закона:

Таблица 2

Закон распределения	r	b
0,95	0,98
равномерный (экспоненциальный)		5,991	7,824

При число степеней свободы для равномерного закона равно: , поэтому ; .

– представим в виде линейного уравнения вида , где:

– подставляем в формулу значение заданной доверительной вероятности , и получаем:

– сравниваем табличное значение критерия Пирсона с расчетным: . Неравенство выполняется, гипотеза принимается.

б) Проверяем гипотезу о экспоненциальном распределении.

Поскольку значение оценки математического ожидания уже вычислено ранее, то параметр найдём из выражения:

– определяем вероятность попадания в заданный диапазон при экспоненциальном законе распределения, используя формулу из прил. 3:

;

Значение функции находим по прил. 4:

;

– определяем критерий Пирсона по формуле:

– табличное значение критерия Пирсона то же, что и у равномерного закона (для экспоненциального закона распределения тоже ) .

– сравним табличное значение критерия Пирсона с расчетным: . Неравенство не выполняется, гипотеза отвергается.

в) Проверяем гипотезу о нормальном распределении.

– определяем вероятность попадания в заданный диапазон при нормальном законе распределения, используя формулу из таблицы прил. 3:

;

Значение оценки математического ожидания и значение оценки среднего квадратичного отклонения уже вычислены ранее. Значения для функции Лапласа находим из прил. 2., при этом учитываем свойство