Квадратичная функция
Автор работы: Султашева Алина
Кашкарбаевна, 8 класс,
Руководитель:
Базарбаева Зайра Хайргельдыновна,
учитель математики и информатики
Содержание
Введение.
I. Уникальное свойство параболы.
1.1.Парабола в древности и до наших дней.
1.2.Практическое применение параболы.
1.3.Параболы в окружающем мире.
II. Изучение квадратичной функции.
2.1.Построение параболы.
2.2.Понятие квадратичной функции и ее свойства.
III. Исследование квадратичной функции.
3.1.Зависимость графика параболы от коэффициентов.
3.2.Алгоритм построения графика функции у=а(х+m)2 + n.
Заключение.
Список литературы.
Приложения.
«Что чувство удивления – могучий источник желания знать:
от удивления к знаниям – один шаг».
В.А.Сухомлинский.
Введение
В 8 классе на уроке алгебры мы впервые встретились с квадратичной функцией. Я считаю, что рассмотреть свойства этой функции и понять их с помощью графика легче.
Если рассмотреть, как абстрактные математические понятия встречаются в действительности, то предмет математики становится интересней, а наши знания более осмысленными и глубокими.
В настоящее время очень популярны нестандартные задачи, нестандартные решения и применения; я считаю, что квадратичная функция и парабола относится к разряду таких применений; поэтому выбранная мной тема актуальна.
Цель исследования: изучение некоторых свойств квадратичной функции и особенностей ее графика.
Задачи исследования:
1. Изучить роль математики в развитии цивилизации и культуры.
2. Ознакомиться с оптическими свойствами параболы, рассмотреть их применение в технике, быту.
3. Изучить некоторые свойства квадратичной функции.
4. Исследовать квадратичную функцию и составить алгоритм построения графика квадратичной функции, основываясь на её свойствах.
Объект исследования: квадратичная функция и парабола.
Предмет исследования: влияние разных коэффициентов на внешнюю форму параболы.
Гипотеза: Я предполагаю, что квадратичная функция y=ax^2+bx+c, как математическое выражение, обладает действительно неожиданными свойствами и способами применения.
В своей работе я использовала следующие методы:
1) сбор и анализ литературы по теме;
2) сравнение;
3) обобщение;
4) работа с помощью программы Microsoft Office Excel.
Основными этапами исследования были:
· постановка проблемы,
· сбор материала,
· овладение методикой построение графиков с помощью программы Microsoft Office Excel,
· проведение опытов по построению квадратичной функции и параболы,
· обобщение полученных данных и разработка алгоритма построения графика квадратичной функции.
I. Уникальное свойство параболы.
Парабола в древности и до наших дней.
Согласно легенде, в 212 году до н.э., Архимед из Сиракуз сжёг флот римлян, обороняя свой город с помощью параболических зеркал. Этот день уцелевшим римлянам запомнился на всю жизнь. Почти полтысячи маленьких солнц вдруг загорелись на крепостной стене. Сначала они просто ослепляли, но через некоторое время произошло нечто фантастическое: передовые римские корабли, подошедшие к Сиракузам, один за другим вдруг начали вспыхивать, как факелы. Бегство римлян было паническим. Так для защиты своего города Архимед использовал оптическое свойство параболы (Приложение 1, рис.1).
Аполлоний Пергский (Перге, 262 до н.э. — 190 до н.э.) — древнегреческий математик, один из трёх (наряду с Евклидом и Архимедом) великих геометров античности, живших в III веке до н.э., он прославился в первую очередь монографией «Конические сечения» (8 книг), в которой дал содержательную общую теорию эллипса, параболы и гиперболы. Именно Аполлоний предложил общепринятые названия этих кривых; до него их называли просто «сечениями конуса». Он ввёл и другие математические термины, латинские аналоги которых навсегда вошли в науку, в частности: асимптота, абсцисса, ордината, аппликата (Приложение 1, рис. 2, 3).
«Парабола» означает «приложение или притча». Долгое время так называли линию среза конуса, пока не появилась квадратичная функция. Параболу можно встретить везде: камень, брошенный под углом к горизонту, снаряд, выпущенный из пушки, летят по траектории, имеющей форму параболы (Приложение 1, рис. 4). Когда мы бросаем мяч или ударяем по нему теннисной ракеткой, он описывает параболу точно так, как льющаяся из шланга вода (Приложение 1, рис. 5).
Практическое применение параболы.
В технике.
Параболоид вращения получается, если парабола вращается вокруг оси z -это бесконечная «чаша».
Параболоид обладает следующим свойством:
· Все лучи, исходящие из особой точки – фокуса параболы (находящегося на оси z), после отражения от «стенок» параболоида образуют лучи, параллельные оси z.
· Все лучи, параллельные оси z, после отражения от параболоида собираются в одной точке – фокусе параболоида. На этом свойстве основано конструирование автомобильных фар, прожекторов, параболических антенн и других устройств с отражающими поверхностями, имеющими формы параболоидов (Приложение 2, рис.1).
Лучи от далеких звезд приходят к нам в виде пучка параллельных лучей, двигающихся вдоль оси параболы, и отражаясь собираются в его фокусе. Если поместить туда фотопластинку, то получаем возможность усилить световой поток, идущий от звезды. На этом основана идея телескопов, антенн, локаторов, зеркала которых выполнены в виде параболоидов вращения.
В нашей стране существуют прожекторные полки, предназначенные для обеспечения боевых действий частей истребительной авиации зоны ПВО. В 1932 году в Москве формируется первый территориальный прожекторный полк. Такой полк охранял воздушные рубежи над Москвой в первые дни войны, создавая световые поля в которые то и дело врывались вражеские самолеты. На подступах к Москве самолеты противника были встречены нашими ночными истребителями и организованным огнем зенитной артиллерии. В результате этого было сбито более 200 самолетов противника. (Приложение 2, рис. 2).
Автомобильные фары - это тоже параболоид вращения.
(Приложение 2, рис.3).
Идя в ногу со временем, многие меняют телевизионную антенну. После того, как устанавливается новая параболическая, то убеждаются в том, что идет расширение диапазона, улучшение качества изображения, дальность приема передач. Эти изменения связаны с формой антенны (Приложение 2,рис.4). Параболическую антенну называют зеркальной, т.к. она состоит из основного параболического зеркала и облучателя. Электромагнитная энергия подводится к облучателю, устанавливаемому у вершины параболоида, и излучается на малое зеркало, после отражения, от которого направляется на основное зеркало. (Приложение 2, рис.5).
В космосе.
Некоторые космические тела, такие как кометы или астероиды, проходящие вблизи крупных космических объектов на высокой скорости, имеют траекторию движения в форме параболы. Скорость примерно равна 11,2 км/с и называется параболической или космической скоростью. Масса таких тел мала, а скорость велика. Поэтому они не захватываются гравитационным полем планет (звезд) и продолжают свободный полет. Это свойство малых космических тел используется при гравитационных маневрах космических кораблей.
А для тренировок будущих космонавтов, на земле проводятся специальные полеты самолетов по траектории параболы, чем достигается эффект невесомости в гравитационном поле земли (Приложение 2,рис.6,7).
В медицине.
В медицине используется параболическое устройство, за счет которого удается разрушить камень в почках. Человека помещают на кресло, и подают электричество на параболическое устройство. Все лучи концентрируются в одной точке (фокус), фокус рассчитан на особое местонахождение (заранее). В данном случае это будет сам камень в почке (Приложение 2, рис.8).
Параболы в окружающем мире.
В природе.
Когда мы прикладываем руку к уху, чтобы лучше слышать, мы неосознанно формируем параболу в трех измерениях (Приложение 3, рис.1, 2).
В архитектуре.
Параболические формы можно встретить в архитектурных сооружениях.
-Использование математического знания о геометрии конических сечений наблюдается с древнейших времен. Вполне вероятно, что строители в прошлом пользовались в этой области знания интуитивно (Приложение 3, рис.3).
-Золотые ворота — один из немногих памятников оборонного зодчества Киевской Руси периода правления Ярослава Мудрого (Приложение 3, рис.4).
-Мост Золотые Ворота — висячий мост через пролив Золотые Ворота. Он соединяет город Сан-Франциско на севере полуострова Сан-Франциско и южную часть округа Марин, рядом с пригородом Саусалито. Мост Золотые Ворота был самым большим висячим мостом в мире с момента открытия в 1937 году и до 1964 года (Приложение 3, рис.5).
- Благодаря своей отражающей способности параболы используют в постройке куполов дворцов и соборов, а также амфитеатров, чтобы зрители четко слышали актеров. (Приложение 3, рис.6).
-Архитектурные свойства арки в форме параболы делают ее идеальной математически. Перевернутая цепная линия – это арка, которая держит сама себя и не требует никаких дополнительных опор. Ворота Сент-Луиса в Миссури – прекрасный пример такой арки (Приложение 3, рис.7).
-Знаменитый испанский архитектор Гауди обожал эту кривую и использовал во многих своих творениях, например, в Каса Мила в Барселоне (Приложение 3, рис.8).
-Над Марсовым полем в Париже возвышается всемирная знаменитость - Эйфелева башня, символ торжества металла в конце XIX века. Башня с удивительной легкостью вздымает на 300 с лишним метров 7 тысяч тонн металлических конструкций, словно сплетенных в удивительное кружево. Эйфелева башня - не только украшение Парижа, но и телевизионная вышка. (Приложение 3, рис.9).
-«Киевская» - станция Кольцевой линии Московского метрополитена. Открыта 14 марта 1954 года (Приложение 3, рис. 10).
- Стадион Фишт. На нем будет открытие и закрытие Олимпиады. А так же игры Чемпионата мира по футболу 2018г. (Приложение 3, рис.11).