Построение параболы.
Первый способ.
Возьмем лист бумаги прямоугольной формы и отметим около его большой стороны точку F. Сложим лист так, чтобы точка F совместилась с какой-нибудь точкой D на большой стороне, и на бумаге образовалась линия сгиба a. Линия сгиба будет серединным перпендикуляром к отрезку FD и, следовательно, касательной к параболе. Разогнем лист и снова согнем его, совместив точку F с другой точкой большой стороны. Сделаем так несколько раз, пока вся бумага не покроется линиями сгибов. Линии сгибов будут касательными к параболе. Граница участка внутри этих сгибов будет иметь форму параболы.
Второй способ.
На листе бумаги нужно закрепить линейку (ее край будет директрисой будущей параболы), в точке, которая станет фокусом параболы, булавкой прикрепить конец нити, другой конец которой закрепить в вершине острого угла чертежного треугольника, притом так, чтобы длина нити равнялась катету этого треугольника. Перемещая второй катет вдоль линейки и, прижимая нить острием карандаша к первому катету треугольника, мы получим кривую, точки которой находятся на одинаковых расстояниях от края линейки и от точки, т.е. параболу. Оказывается, что парабола график квадратичной функции — обладает интересным свойством: есть такая точка и такая прямая, что каждая точка параболы одинаково удалена от этой точки и от этой прямой (точку называют фокусом параболы, а прямую — ее директрисой). Это свойство параболы было известно уже математикам античной Греции.
Третий способ.
Построение параболы при заданной величине параметра p выполняется в следующей последовательности:
1. Проводят ось симметрии параболы и откладывают на ней отрезок KF=p;
2. Через точку K перпендикулярно оси симметрии проводят директрису DD1;
3. Отрезок KF делят пополам, получают вершину 0 параболы;
4. От вершины отмеряют ряд произвольных точек 1, 2, 3, 5, 6 с постепенно увеличивающемся расстоянием между ними;
5. Через эти точки проводят вспомогательные прямые перпендикулярные оси параболы;
6. На вспомогательных прямых делают засечки радиусом равным расстоянию от прямой до директрисы;
7. Полученные точки соединяют плавной кривой.
Понятие квадратичной функции и ее свойства.
Функция.
Понятие функции уходит своими корнями в ту далёкую эпоху, когда люди впервые поняли, что окружающие их предметы взаимосвязаны. Они ещё не умели считать, но уже знали, что чем больше оленей удастся убить на охоте, тем дольше племя не будет голодать; чем сильнее натянуть тетиву лука, тем дальше полетит стрела; чем дольше горит костёр, тем теплее будет пещера. Когда возникли первые цивилизации, образовались большие армии, началось строительство гигантских пирамид. Древние учёные стали составлять таблицы для облегчения вычислений. В Древнем Вавилоне были составлены таблицы для функций у= 1/х, у=х², у=х³, у=х²+х³. Понятие переменной величины было введено в науку французским учёным и математиком Рене Декартом (1596-1650г.г.). Он ввёл идею числовой функции числового аргумента. При записи зависимостей между величинами Декарт стал применять буквы. Он начал геометрически изображать не только пары чисел, но и уравнения, связывающие два числа.
Одновременно с Декартом к мысли о соответствии между линиями и уравнениями пришёл другой французский математик – Пьер Ферма (1601-1665г.г.). Он был советником Тулузского парламента и занимался математическими исследованиями лишь в свободное время. Тем не менее, Ферма получил ряд первоклассных результатов в различных областях математики. Термин функция начал применять в конце 18 века Лейбниц (1646-1716г.г.) и его ученики. Определение функции, приближённое к современному, дал Иоганн Бернулли: «Функцией переменной величины называется количество, образованное каким угодно способом из этой переменной величины и постоянных».
С квадратичной функцией мы уже имели дело при работе с некоторыми формулами на уроках геометрии и физики. Например, формула S=πr² задаёт площадь круга как квадратичную функцию его радиуса r. Формула S=a² задаёт площадь квадрата как квадратичную функцию его стороны.
Квадратичная функция.
Функция y=ax^2+bx+c, где a, b, c заданные числа, a#0, x - действительная переменная, называется квадратичной функцией.
Графиком квадратичной функции является кривая, называемая параболой.
В уравнении квадратичной функции:
a – старший коэффициент
b – второй коэффициент
c - свободный член.
III. Исследование квадратичной функции.