Известно, что компьютер – инструмент, который работает с конкретными математическими моделями, поэтому я создала математическую модель квадратичной функции у=а(х+m)2 + n.
Для построения графика функций мы использовали программу Microsoft Office Excel.
Необходимо выяснить как коэффициенты а, m, n влияют на внешнюю форму графика функции.
Исследование 1. Сравним графики функции при положительном и отрицательном значении коэффициента a. Примем, а=1и построим соответственно графики функций у = х^2 и у =- х^2. (Приложение 4, рис. 1)
Оказалось, что парабола у = x^2 обладает следующими основными свойствами:
1) График функции находится целиком в верхней полуплоскости, принимает только неотрицательные значения. В начале координат парабола касается оси абсцисс. Это самая низкая точка графика.
2) Парабола симметрична относительно оси ординат. Это служит графической иллюстрацией того, что функция у = x^2 не меняет своих значений при изменении знака у аргумента: (- x)^2 = x^2. Такие функции называются чётными.
Если старший коэффициент a>0, то ветви параболы направлены вверх.
Если старший коэффициент a<0, то ветви параболы направлены вниз.
Вывод: график функции у =- х^2 можно получить из графика у = х^2 с помощью симметрии относительно оси Х.
Исследование 2. Сравним графики функции при различных целых значениях коэффициента /а/ >1. Построим графики функций у = х^2 и у = 2х^2. (Приложение 4, рис. 2).
Я заметила что, график стал уже. Из построенного графика видно, что парабола растягивается относительно оси абсцисс. А такое преобразование на математическом языке называется - растяжением.
Исследование 3. Сравним графики функции при различных значениях коэффициента 0 < a < 1. Построим графики функций у = х^2 и у = 1/2 х^2
|
|
График функции у = 1/2х^2 стал шире по отношению с основным графиком. А такое преобразование на математическом языке называется - сжатием графика (Приложение 4, рис. 3).
Исследование 4. Сравним графики функции при различных значениях коэффициента n. Построим графики функций у = х^2 +2 и у = х^2 – 2. (Приложение 4, рис. 4)
Любая точка графика y = х^2 +2 с абсциссой X находится на 2 единицы “выше”, чем точка графика y = х^2 с той же самой абсциссой; а график функции y= х^2 + 2 можно получить из графика y = f(x) параллельным переносом вдоль оси ординат на 2 единицы “вверх”.
Любая точка графика y = х^2 – 2 находится на 2 единицы “ниже”, чем точка графика y = х^2 с той же самой абсциссой; а график функции y= х^2 – 2 можно получить из графика y = х^2 параллельным переносом вдоль оси ординат на 2 единицы “вниз”.
Вывод: График функции y1= f(x)+n, а 0 можно получить из графика функции y = f(x) параллельным переносом вдоль оси ординат на |n| единиц “вниз”, если n<0, и на |n| единиц “вверх”, если n>0.
Исследование 5. Сравним графики функции y = f(x) и y = f(x-m) при различных значениях коэффициента m, где m – произвольное число. Построим графики функций: y = (x-3)^2, y = (x+3)^2. (Приложение 4, рис.5)
Любая точка графика y = (x+3)^2 с абсциссой х находится на 3 единицы «левее», чем точка графика y= х^2 с абсциссой х, а график функции y = (x+3)^2 можно получить из графика y = х^2, “сдвинув” его на 3 единицы влево вдоль оси абсцисс.
Любая точка графика y=(х-3)^2 находится на 3 единицы “правее”, чем точка графика y =х^2, а график функции y= (x-3)^2 можно получить из графика функции y =х^2 “сдвинув” его на 3 единицы вправо вдоль оси абсцисс.
|
|
Вывод: график функции y= f(x+m) можно получить из графика функции y = f(x), “сдвинув” его на |m| единиц вправо вдоль оси абсцисс, если m<0, и на|m| единиц влево вдоль оси абсцисс, если m>0.
С помощью электронных таблиц я построила графики функций, понаблюдала за последовательностью построения графиков и составили алгоритм построения графиков функций данной модели.
3.2. Алгоритм построения графика функции у=а(х+m)^2 + n.
1. Построить график функции у=|a|x^2 (по точкам).
2. Eсли а<0 применить осевую симметрию относительно оси OX.
3. Осуществить сдвиг графика вдоль оси OX на |m| единиц масштаба влево, если m>0, и вправо, если m<0.
4. Осуществить сдвиг полученного графика вдоль оси OY на |n| единиц масштаба вверх, если n>0,и вниз, если n<0.
Используя алгоритм, я определила вид графика функции.
у = -0,5(x-4)2 + 7:
1. График симметричен графику функции у=х^2 относительно оси ОХ. Ветви направлены вниз.
2. Сжатие графика в 2 раза
3. График сдвинут на 4 единицы вправо.
Заключение
В процессе нашей работе мы познакомились с историей открытия параболы, углубили свои знания о различных её свойствах, о способах построения параболы; выяснили как коэффициенты влияют на внешнюю форму графика функции; составили алгоритм построения графиков функций модели у=а(х+m)2 + n.
Изучили значимость творческого опыта в области алгебры на примерах практического применения свойств данной кривой в различных сферах деятельности человека.
Для многих людей математика является трудной и непонятной, но мы считаем, что если подробнее изучить математические понятия и применение их в жизни, то математика становится интересной, а наши знания более осмысленными и глубокими.
|
|
На первый взгляд, понятие не ново,
И не всегда подумаешь о том,
Как важно будет в жизни это слово
И сколько смысла будет в слове том!
По-разному с годами толковали.
Сам Лобачевский руку приложил,
Чтоб слово «функция» и в средней школе знали,
Чтоб каждый ученик им дорожил.
Список литературы
Интернет ресурсы:
1. https://otvet.mail.ru/question/13815477
2. https://www.mathmath.ru/node30-1.php
3. https://flatik.ru/issledovanie-opticheskih-svojstv-paraboli-primenenie-optichesk
4. https://otvet.mail.ru/question/39894556
5. https://ru.wikipedia.org/wiki/Парабола
6. https://www.megaslov.ru/html/p/parabola.html
7. https://tolkslovar.ru/p943.html-%20понятия%20слова%20парабола%20в%20толковых%20словарях
8. https://dic.academic.ru/dic.nsf/bse/118405/Парабола
9. https://www.astro.websib.ru/slovar
https://project.1september.ru/subjects/8/94
10. Алгебра. 8 класс: учебник для общеобразовательных организаций
авторы: Ю.М.Колягин, М.В.Ткачев и др. - М.: Просвещение, 2015.
Приложение 1
Рис.1 Архимед
Рис.2, 3 Абсцисса, ордината, аппликата. 
рис. 4 
Рис. 5 Траектории, имеющей форму параболы
Приложение 2
Рис.1. Автомобильные фары
Рис.2 Прожекторные войска
Рис.3 Автомобильные Фары. 
Рис. 4. Телевизионные антенны.
Рис.5 Зеркальная антенна.
Рис.6, 7 Полеты самолетов по траектории параболы.
Рис.8 Использование в медицине
Приложение 3
Парабола в природе
Рис.1, 2. Приложение руки к уху для улучшения слуха. 
рис.3 Сооружения с коническим сечением.
Рис.4 Золотые ворота во Владимире
Рис.5 Мост Золотые Ворота
Рис.6 Собор с параболической крышей
Рис.7 Ворота Сент-Луиса в Миссури
Рис.8 Мила в Барселоне
Рис.9 Эйфелева башня в Париже
Рис.10 «Киевская» станция Кольцевой линии
рис.11 Стадион Фишт в Сочи
