Перпендикулярность прямой и плоскости, двух плоскостей. Касательные и нормали к поверхности




Метрические задачи

 

 

Существующие чертежи, прежде всего, создаются для выполнения по ним деталей машин и сооружений, поэтому по ним необходимо определять длины отрезков, величины углов, площади фигур и т.д. Для того, чтобы определить длину отрезка или величину угла, их надо сравнить с эталонами – линейкой или транспортиром. А как измерить длину отрезка прямой линии или угла общего положения на чертеже? Для решения метрических задач на чертеже необходимо преобразовать его так, чтобы измеряемый отрезок или угол не искажался в проекциях. Таким образом, под метрическими задачами будем понимать преобразование отрезков, углов и плоских фигур в положения, когда они не искажаются и изображаются в натуральную величину и к ним можно прикладывать эталоны для сравнения. Возникает вопрос, какие преобразования позволяют определять натуральные величины? Известно, что отрезки прямых линий, плоскости углов и фигур изображаются в натуральную величину, когда они параллельны плоскости проекций. Интерес представляет построение самих отрезков и углов, определяющих величину расстояний и углов. Для этого необходимо уметь строить перпендикуляры к прямым линиям и плоскостям. Расстояние до поверхностей определяются по нормалям к поверхности, которыми являются перпендикуляры к касательным плоскостям. Для построения разверток необходимо знать законы преобразования линий поверхности в линии на плоскости, которые также зависят от касательных плоскостей. Поэтому для начала рассмотрим построение перпендикуляров, касательных и нормалей. Из всёго разнообразия метрических задач можно выделить задачи на измерение расстояний, величин углов и комплексные задачи на построение разверток поверхностей, основу которых составляет ключевые задачи: проведение перпендикуляра к прямой линии и плоскости и определение натуральной величины отрезка прямой линии. Для решения метрических задач можно использовать различные алгоритмы построений с использованием преобразования чертежа. Наиболее эффективным является выбор более рациональных способов, поэтому очень важно хорошо ориентироваться в ранее изученном материале.

 

Перпендикулярность прямой и плоскости, двух плоскостей. Касательные и нормали к поверхности

Прямая линия перпендикулярна к плоскости, если она перпендикулярна к двум пересекающимся прямым линиям этой плоскости. Прямой угол в общем случае проецируется с искажением, но если одна сторона прямого угла параллельна плоскости проекций, то на эту плоскость проекций прямой угол проецируется в натуральную величину. Это инвариантное свойство операции ортогонального проецирования. Теорема: если прямая линия p перпендикулярна к плоскости α(h х f), то на эпюре Монжа горизонтальная проекция перпендикуляра p1 перпендикулярна к горизонтальной проекции горизонтали плоскости h1, а фронтальная проекция перпендикуляра p2 перпендикулярна к фронтальной проекции фронтали f2 (рис. 5.1).

 

Рис. 5.1. Перпендикуляр к плоскости

Действительно, если прямая линия перпендикулярна к плоскости, то она перпендикулярна к любой прямой этой плоскости, в том числе, и к горизонтали и фронтали плоскости. Справедлива и обратная теорема: если горизонтальная проекция перпендикуляра p1 перпендикулярна к горизонтальной проекции горизонтали плоскости h1, а фронтальная проекция перпендикуляра p2 перпендикулярна к фронтальной проекции фронтали f2, то прямая линия p перпендикулярна к плоскости α, заданной горизонталью и фронталью.

Две плоскости взаимно перпендикулярны, если одна из них содержит перпендикуляр к другой. Рассмотрим построение плоскости β, перпендикулярной к плоскости α (h х f) и проходящей через прямую l (рис. 5.2). Через любую точку прямой линии l проведём прямую линию р, перпендикулярную к плоскости α. Отметим, что прямая линия р с заданными следами плоскости скрещивается под прямым углом, а не пересекаются. Прямые линии р и l определяют единственную плоскость β, перпендикулярную к заданной плоскости α.

 

Рис. 5.2. Перпендикулярность плоскостей

 

Плоскость является касательной к поверхности, если она содержит хотя бы две касательные прямые линии к кривым линиям на поверхности (рис.5.3). Плоскость касается выпуклых нелинейчатых поверхностей (сферы, эллипсоида, параболоида) в одной точке. Плоскость касается цилиндрической и конической поверхностей по прямым линиям. Касательная плоскость к однополостному гиперболоиду и косой плоскости пересекают их по двум прямым линиям. Касательная плоскость к сложным криволинейным поверхностям может пересекать или касаться их по кривым линиям. Так, например, плоскость, касательная к горлу открытой торовой поверхности, пересекает его по кривой 4-го порядка – лемнискате, а плоскость, перпендикулярная к оси вращения открытой торовой поверхности, касается его по окружности.

 

 

Рис. 5.3. Касательная плоскость и нормаль к поверхности

 

Прямая линия, проходящая через точку поверхности перпендикулярно к касательной плоскости, проведенной через эту точку, называется нормалью к поверхности. Рассмотрим примеры построения касательных плоскостей и нормалей к поверхностям сферы и конуса (рис. 5.4, а и б).

 

а) б)

 

Рис. 5.4. Касательная плоскость и нормаль к поверхностям:

а – к сфере, б – к конусу

 



Поделиться:




Поиск по сайту

©2015-2024 poisk-ru.ru
Все права принадлежать их авторам. Данный сайт не претендует на авторства, а предоставляет бесплатное использование.
Дата создания страницы: 2016-04-12 Нарушение авторских прав и Нарушение персональных данных


Поиск по сайту: