Задача для самостоятельной работы

Практическое занятие 9

Тема 9. Численные методы решения обыкновенных

Дифференциальных уравнений

Решение систем дифференциальных уравнений и

Дифференциальных уравнений высших порядков

Постановка вычислительной задачи, исходные данные. В интервале времени [0; t ₁] с шагом 0,1 t ₁ вычислить методом Рунге-Кутта смещение x упругой системы СПИЗ плоскошлифовального станка, если колебания его упругой системы описывается дифференциальным уравнением второго порядка вида

с начальными условиями: t ₀ = 0; x (t ₀) = 0; x ′(t ₀) = 0,

где: m - приведенная масса упругой системы, Нс²/м;

η – коэффициент сопротивления, характеризующий затухание колебаний во времени, Нс/м;

c – приведенная жесткость системы СПИЗ, Н/м;

F – сила резания, Н.

Верхняя граница интервала решения дифференциального уравнения определяется по формуле .

Значения параметров m, η, c, F приведены в таблице 1.

Таблица 1. Значения параметров системы СПИЗ станка

№ варианта	c ·10⁷, Н/м	m, Нс²/м	η, Нс/м	F, Н	№ варианта	c ·10⁷, Н/м	m, Нс²/м	η, Нс/м	F, Н
	0,72	18,26	6,28	100sin100 t		0,78	4,94	5,00	200cos200 t
	0,45	15,24	5,60	150sin130 t		1,38	2,53	4,76	250cos330 t
	0,78	4,94	5,00	200sin200 t		2,18	4,04	3,45	150cos375 t
	1,38	2,53	4,76	250sin330 t		3,48	4,65	3,24	100cos435 t
	2,18	4,04	3,45	150sin375 t		0,72	18,26	6,28
	3,48	4,65	3,24	100sin435 t		0,45	15,24	5,60
	0,72	18,26	6,28	100cos100 t		0,78	4,94	5,00
	0,45	15,24	5,60	150cos130 t		1,38	2,53	4,76

Последовательность выполнения задания.

1. Записать постановку задачи и исходные данные, выбрав их из таблицы 1 согласно вашему варианту задания.

2. Найти методом Рунге-Кутта решение дифференциального уравнения в первых трех точках отрезка интегрирования [ a, b ].

3. В Excel выполнить решение дифференциального уравнения для всех точек отрезка [ a, b ] и построить график полученного решения.

4. Составить отчет выполнения задания практической работы.

Задача для самостоятельной работы

по приобретению умений и навыков по теме 9

Задача. В 10 точках интервала [ a, b ] вычислить методами Эйлера и Рунге-Кутта значения приближенного решения обыкновенного дифференциального уравнения второго порядка с начальными условиями ; .

Вычислить точное решение уравнения и определить погрешность приближенного решения уравнения указанными методами.

Результаты решения дифференциального уравнения привести в табличной форме. Функции , , начальные условия и интервал интегрирования дифференциального уравнения приведены в таблице 2.

Таблица 2.

№	Дифференциальное уравнение	Начальные условия	0трезок [ a, b ]	Точное решение
		;	[0; 0,5]
		;	[0; 0,2]
		;	[0; 1,0]
		;	[0; 1,0]
		;	[0; 1,0]
		;	[0; 0,5]
		;	[0; 0,2]
		;	[0; 1,0]
		;	[1; 2,0]
		;	[0; 1,0]
		;	[0; 1,0]
		;	[0; 1,0]
		;	[0; 1,0]
		;	[0; 1,0
		;	[0; 1,0]

Справка.

При численном интегрировании дифференциального уравнения n -го порядка его предварительно способом подстановки сводят к системе из n дифференциальных уравнений первого порядка. Например, при решении задачи Коши для уравнения второго порядка

(1)

с начальными условиями

; (2)

первую производную можно обозначить через z (x) - вторую неизвестную функцию, т. е. . Подставляя принятое обозначение в (1) и (2), приходим к задаче Коши для системы из двух дифференциальных уравнений первого порядка

(3)

с начальными условиями:

; .

Далее каждое из уравнений системы (3) совместно решаются выбранным численным методом для выбранных точек интервала [ a, b ]. Так, если система (3) решается методом Эйлера, то значения неизвестных функций y (x) и z (x) в точках x_i ₊₁ (i =0, 1, 2, …, n -1) вычисляются по формулам:

; ,

где:

; ; .

При решении системы (3) методом Рунге-Кутта значения неизвестных функций y (x) и z (x) в точках x_i ₊₁ (i =0, 1, 2, …, n -1) вычисляются, как и в методе Эйлера, по формулам:

; ,

но приращения и в точках x_i (i =0, 1, 2, …, n) находят с использованием коэффициентов и соответственно