Числовая окружность. Радианная и градусная мера, их взаимосвязь. Макеты. Определение синуса, косинуса, тангенса и котангенса с помощью числовой окружности.
Любая окружность может рассматриваться как числовая, но удобнее использовать единичную окружность. Единичная окружность - это окружность, радиус которой принимается за единицу измерения.
Длина единичной окружности l равна l=2π⋅R=2π⋅1=2π
Считаем, что R=1.
Если взять π≈3,14, то длина окружности l может быть выражена числом 2π≈2⋅3,14=6,28
Будем пользоваться единичной окружностью, в которой проведены горизонтальный и вертикальный диаметры CA и DB (см. рис.)
Принято называть дугу AB - первой четвертью, дугу BC - второй четвертью, дугу CD - третьей четвертью, дугу DA - четвёртой четвертью, причём, это открытые дуги, т.е. дуги без их концов.
Длина каждой четверти единичной окружности равна 1/4⋅2π=π/2
Принято в обозначении дуги на первом месте писать букву, обозначающую начало дуги, а на втором месте писать букву, обозначающую конец дуги.
Для работы с числовой окружностью часто используются два макета числовой окружности.
Первый макет.
Каждая из четырёх четвертей числовой окружности разделена на две равные части и около каждой из полученных восьми точек записано число, которому она соответствует.
Второй макет.
Каждая из четырёх четвертей числовой окружности разделена на три равные части и около каждой из полученных двенадцати точек записано число, которому она соответствует.
Для числовой окружности верно следующее утверждение:
Если точка M числовой окружности соответствует числу t, то она соответствует и числу вида t+2πk,k∈Z
На указанных двух макетах написаны числа, соответствующие точкам, при первом обходе числовой окружности в положительном направлении, т.е. на промежутке [0;2π]
Радианная мера угла – это такая мера угла, при которой за 1 Rad принимается угол дуги, равной радиусу этой дуги. Поскольку 1 радиану соответствует длина дуги равная радиусу, то отсюда следует такие выводы:
π радианов = 180°, а 1° = π/180 радиана.
Величина радианной меры угла равна отношению длины дуги окружности к радиусу этой окружности.
Если точка M числовой окружности соответствует числу t, то
абсциссу точки M называют косинусом числа t и обозначают cost,
а ординату точки M называют синусом числа t и обозначают sint.
Итак, если
тогда M(t)=M(x;y)
x=cost
y=sint
Отсюда следует, что −1≤cost≤1 −1≤sint≤1 (см. рис.)
Отношение синуса числа t к косинусу того же числа называют тангенсом числа t и обозначают tgt.
Отношение косинуса числа t к синусу того же числа называют котангенсом числа t и обозначают ctgt.
tgα=sinα/cosα ctgα=cosα/sinα
Из уравнения числовой окружности x2+y2=1, заменяя x и y на cost и sint, получаем равенство
cos2t+sin2t=1
Отметим также несколько важных свойств синуса, косинуса, тангенса и котангенса:
Свойство 1. Для любого значения t справедливы равенства:
sin(−t)=−sint;cos(−t)=cost;tg(−t)=−tgt;ctg(−t)=−ctgt.
Свойство 2. Для любого значения t справедливы равенства:
sin(t+2πk)=sintcos(t+2πk)=cost
Свойство 3. Для любого значения t справедливы равенства:
sin(t+π)=−sint;cos(t+π)=−cost;tg(t+π)=tgt;ctg(t+π)=ctgt.
Будут верны и такие равенства:
tg(t+πk)=tgt;ctg(t+πk)=ctgt.
Свойство 4. Для любого значения t справедливы равенства:
sin(t+π2)=cost;cos(t+π2)=−sint.