Доказать какое-либо утверждение - значит показать, что это утверждение логически следует из системы истинных и связанных с ним утверждений.
В логике считают, что если рассматриваемое утверждение логически следует из уже доказанных утверждений, то оно обоснованно и также истинно, как и последние.
Таким образом, основным способом математического доказательства является дедуктивный вывод. А само доказательство - это логическая операция, в процессе которой обосновывается истинность какого-либо утверждения с помощью других истинных и связанных с ним утверждений. Для этого строится конечная цепочка умозаключений, причем заключение каждого из них, кроме последнего, является посылкой в одном из последующих умозаключений.
В процессе доказательства используются не только правила построения дедуктивных умозаключений, но и основные законы логики:
1. Закон тождества. Каждая мысль, повторяясь в рассуждении, должна быть тождественной самой себе.
Это означает, что в процессе рассуждения нельзя подменять одну мысль другой, одно понятие - другим.
2. Закон непротиворечия. Высказывание и его отрицание не могут быть одновременно истинными; по крайней мере одно из них ложно.
3. Закон исключения третьего. Из двух противоречивых высказываний об оном и том же предмете одно - истинно, а другое - ложно, третьего не дано.
4. Закон достаточного основания. Всякое истинное утверждение должно быть обоснованно с помощью других утверждении, истинность которых доказана.
Итак, когда речь идет о математическом доказательстве, надо:
- иметь то утверждение, истинность которого нужно доказать;
- понимать, что доказательство - это цепочка дедуктивных умозаключений, оно выполняется по правилам и законам логики;
- понимать, какие истинные утверждения можно использовать в процессе доказательства.
По способу ведения различают прямые и косвенные доказательства.
Прямое доказательство утверждения А 
В - это построение цепочки дедуктивных умозаключений, выполняемых последовательно от А к В с соблюдением правил и законов логики и с помощью системы утверждений, истинность которых доказана.
Примером косвенного доказательства является доказательство методом от противного. Сущность его состоит в следующем.
Пусть требуется доказать теорему А В. При доказательстве методом от противного допускают, что заключение теоремы (В) ложно, а следовательно, его отрицание истинно. Присоединив предложение 
к совокупности истинных посылок, используемых в процессе доказательства, строят цепочку дедуктивных умозаключений до тех пор, пока не получится утверждение, противоречащее одной из посылок и, в частности, условию А. Как только такое противоречие устанавливают, на основании закона непротиворечия делают вывод, что предположение было ложным, и, значит на основании закона исключения третьего истинно В, т.е. то, что требовалось доказать.
Кроме прямого и косвенного способов доказательства в математике используются и другие методы доказательства. Среди них - полная индукция и математическая индукция.
Метод математической индукции будет рассмотрен позже.