Тема. Вычисление площади сферы и объема шара
| Шар и сфера Сферическая поверхность — это геометрическое место точек (т. е. множество всех точек) в пространстве, равноудалённых от одной данной точки, которая называется центром сферической поверхности. |
На рисунке все точки равноудалены от точки C, радиус CA соединяет центр с точкой на сфере.
| Все расстояния от центра до любой точки на сфере одинаковы и равны радиусу. Используя формулу расстояния между точками с данными координатами, можно составить уравнение сферы: (x−x0)2+(y−y0)2+(z−z0)2=R2. |
Шар — это тело, ограниченное сферической поверхностью.
Можно получить шар, вращая полукруг (или круг) вокруг диаметра. Все плоские сечения шара — круги. Наибольший круг лежит в сечении, проходящем через центр шара, и называется большим кругом. Его радиус равен радиусу шара.
Любые два больших круга пересекаются по диаметру шара. Этот диаметр является и диаметром пересекающихся больших кругов.
| Через две точки сферической поверхности, расположенные на концах одного диаметра, можно провести бесчисленное множество больших кругов. Например, через полюса Земли можно провести бесконечное число меридианов | 
|
Сечения шара
Всякое сечение шара плоскостью есть круг, (или точка, если плоскость касается шара).
Центр этого круга есть основание перпендикуляра опущенного из центра шара на секущую плоскость.
Плоскость проходящая через центр шара называется диаметральной плоскостью. Сечение шара диаметральной плоскостью называется большим кругом. Его радиус равен радиусу шара.
Площадь сферы: Sсферы = 4π·R2, R – радиус шара.
Длина окружности: С =2πR, S = πR 2 - площадь круга
Объем шара: V = 
πR3 (через радиус), V = 
(через диаметр).
При решении заданий удобнее вместо шара чертить один из больших кругов, а плоскость сечения заменить хордой этого круга.
| 
|
Круговое сечение шара делит его на два шаровых сегмента, а сферу — на две сегментные поверхности.
| Часть шара, ограниченная двумя параллельными круговыми сечениями и лежащим между ними сферическим поясом(или зоной), называется шаровой зоной. Радиусы, проведённые от центра шара к точкам сферы, принадлежащим одной сегментной поверхности, или сферическому поясу, образуют шаровой сектор, он может быть ограничен сферическим сегментом, или зоной, и одной или двумя коническими поверхностями. |
Высота шаровой или сферической зоны — это расстояние между плоскостями сечений; высота шарового сегмента, или сегментной поверхности, определяется как расстояние от плоскости сечения до параллельной ей плоскости, касательной к этому сегменту. Высоту шарового сектора определяют как высоту соответствующей сегментной поверхности, или сферического пояса.
| OO1 =d — расстояние между центром шара и плоскостью сечения; OA=R — радиус шара; O1A =r — радиус окружности сечения. |
В вычислениях используется теорема Пифагора в прямоугольном треугольнике AOO1.
Задание для самостоятельной работы
Тест
Выберите верное утверждение.
а) Сфера является поверхностью шара.
б) Всякое сечение сферы плоскостью есть круг.
в) Радиус любого сечения сферы плоскостью не больше радиуса сферы.