Тема 1.3. Пара сил и момент силы относительно точки.
Пара сил и момент силы относительно точки. Пара сил и её характеристики. Момент пары. Эквивалентные пары. Сложение пар. Условие равновесия системы пар сил. Момент силы относительно точки.
Пара сил. Момент пары сил
Парой сил называется приложенная к твердому телу система двух сил (F, F'), равных по модулю, параллельных и направленных в противоположные стороны:
F = - F'; F=F'.
Расстояние d между линиями действия сил пары называется плечом пары; плоскость 
, в которой действуют силы пары, называется плоскостью действия пары. Совокупность нескольких пар, действующих на тело, называется системой пар.
Пара сил не имеет равнодействующей. Она стремится сообщить телу некоторое вращение. Вращательный эффект пары характеризуется векторной величиной, называемой моментом пары. Момент пары сил относительно точки O
MO (F, F') = MO (F) + MO (F')
не зависит от выбора точки O и равен моменту одной из сил пары относительно точки приложения другой силы
M (F, F') = MA (F') = MB (F).
Момент пары сил M перпендикулярен плоскости действия пары, направлен по правилу правого винта и равен по модулю произведению модуля любой из сил на плечо пары: M = F · d.
Векторный момент пары сил может быть приложен в любой точке пространства, т.е. является свободным вектором.
Две пары сил, имеющие одинаковые векторные моменты, эквивалентны, т.е. оказывают на тело одинаковое механическое действие.
Эквивалентность пар: действие пары сил на твердое тело не изменится, если
· переместить пару в другое положение в плоскости ее действия;
· плоскость ее действия переместить параллельно самой себе;
· любым образом изменить модули сил и плечо пары, сохранив неизменным их произведение, т.е. момент пары M=F · d.
Сложение пар сил: система n пар сил с моментами M 1, M 2,..., M n эквивалентна одной паре с моментом M, равным векторной сумме моментов этих пар: M = 
M k.
Условие равновесия системы пар, приложенных к твердому телу: M = M k= 0.
Пара сил
Парой сил называется система двух равных по величине, противоположных по направлению и не лежащих на одной прямой сил (рисунок 1.19).
Рисунок 1.19
Пара сил не имеет равнодействующей, т.е. не может быть заменена одной силой.
Сумма проекций сил пары на любую ось равна нулю, т.к. их проекции всегда равны и противоположны по знаку (рисунок 1.20). 
Рисунок 1.20
Пара сил оказывает вращающее действие, которое может быть оценено моментом пары:
M(F1, F2) = F1h = F2h, (1.11)
где h – плечо пары.
Момент пары считается положительным, если силы пары стремятся повернуть плоскость, в которой они расположены, против хода часовой стрелки (рисунки 1.19, 1.20 – моменты этих пар сил положительны).
Момент пары сил может быть определен как векторная величина:
M(F1, F2) = AB×F2 = BA×F1, (1.12)
т.е. вектор M(F1, F2) всегда перпендикулярен плоскости, в которой расположена пара сил, и его направление определяется правилом векторного произведения (рисунок 1.21).
В разделе «Статика» дисциплины «Теоретическая механика» доказывается теорема о том, что сумма моментов сил пары относительно произвольной точки пространства равна моменту этой пары. Следовательно, вектор-момент пары сил может быть приложен (или перенесен) к любой точке твердого тела, на которое действует пара сил.
Рисунок 1.21
Поскольку действие пары сил оценивается величиной и направлением вращающего момента, то на плоскости пару сил изображают в любом месте твердого тела, задавая величину и направление вращающего действия (см. на рисунке 1.22 изображение пар сил M1 и M2).
Рисунок 1.22
Момент силы относительно центра (или точки)
Опыт показывает, что под действием силы твердое тело может наряду с поступательным перемещением совершать вращение вокруг того или иного центра. Вращательный эффект силы характеризуется ее моментом.
Рассмотрим силу 
, приложенную в точке А твердого тела (рис. 1). Допустим, что сила стремится повернуть тело вокруг центра О. Перпендикуляр h, опущенный из центра O на линию действия силы , называется плечом силы относительно центра О. Так как точку приложения силы можно произвольно перемещать вдоль линии действия, то, очевидно, вращательный эффект силы будет зависеть:
1) от модуля силы F и длины плеча h;
2) от положения плоскости поворота ОАВ, проходящей через центр О и силу F;
3) от направления поворота к этой плоскости.
Рис.1. Сила, приложенная к телу
Ограничимся пока рассмотрением систем сил, лежащих в одной плоскости. В этом случае плоскость поворота для всех сил является общей и в дополнительном задании не нуждается.
Тогда для количественного измерения вращательного эффекта можно ввести следующее понятие о моменте силы: моментом силы относительно центра О называется величина, равная взятому с соответствующим знаком произведению модуля силы на длину плеча.
Момент силы относительно центра О будем обозначать M.
Следовательно, М= ±Fh. Единицы измерения в системе СИ: Н·м,
Правило знаков для момента силы: момент пары сил будем считать положительным, если пара стремиться повернуть тело по направлению хода часовой стрелки, и отрицательным, если пара сил стремится вращать тело против хода часовой стрелки.
Отметим следующие свойства момента силы:
1) Момент силы не изменяется при переносе точки приложения силы вдольее линии действия.
2) Момент силы относительно центра О равен нулю только тогда, когда сила равна нулю или когда линия действия силы проходит через центр О (плечо равно нулю).
3) Момент силы численно выражается удвоенной площадью треугольника ОАВ (рис. 1)
M= ± 2пл.ΔOAB