Математическая модель в виде матрицы передаточных функций приведена в таблице 2.
Таблица.2
| u1, м3/с, брага | u2, кг/с, пар | |
| 
| 
|
| y2, 0.7+-0.05 | 
| 
|
На рисунке 2 представлена блок – схема модели колонны.
Рисунок 2 – Блок-схема модели колонны
В исходных данных, модель дана как мы видим в виде матриц передаточных фунцый. Для преобразования передаточных функций в пространство состояний использовали соотношения. Наиболее простой аппроксимацией опоздания является замена его инерционным звеном первого порядка. Для проверки правильности преобразования следует найти собственные значения системы с помощью функции Eig и убедиться, что или все собственные значения имеют отрицательные действительные части (система постоянна), или число нулевых собственных значений совпадает с числом интегральных звеньев в исходной модели. Окончательно система должна быть представлена матрицами A,B,C,D.
Рисунок 3. Развернутая структурная схема системы с учетом запаздывания
Исходя из систем получим матрицы модели в пространстве состояний
где х- состояние систем;
y- измеряемые входы;
f- возмущение;
u- управление.
Матрицы системы имеют вид:
A=[-1/35 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0;
0 -1/129 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0;
0 4/48 -2/48 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0;
0 0 0 -1/38 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0;
0 0 0 4/9 -2/9 0 0 0 0 0 0 0 0 0;
0 0 0 0 0 -1/110 0 0 0 0 0 0 0 0;
0 0 0 0 0 4/134 -2/134 0 0 0 0 0 0 0;
0 0 0 0 0 0 0 -1/13.5 0 0 0 0 0 0;
0 0 0 0 0 0 0 0 -1/98 0 0 0 0 0;
0 0 0 0 0 0 0 0 4/133 -2/133 0 0 0 0;
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 -1/50 0 0 0;
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 4/12 -2/12 0 0;
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 -1/186 0;
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 4/150 -2/150];
Матрица входа:
B=[-42.5/35 0;
-72.5/129 0;
0 0;
1720/38 0;
0 0;
730/110 0;
0 0;
0 0.994/13.5;
0 0.459/98;
0 0;
0 -6.9/50;
0 0;
0 -5.1/186;
0 0];
Матрица измерений:
C=[1 -1 1 0 0 0 0 1 -1 1 0 0 0 0;
0 0 0 -1 1 -1 1 0 0 0 -1 1 -1 1];
где матрица системы:
D=[0 0;0 0];
Преобразование математической модели в дискретное время и ее проверка с помощью построения разгонных характеристик
Для преобразования математической модели в дискретное время использовалась функция программного пакета Matlab c2d. При этом шаг дискретности нужно выбирать с учетом того что процессы в замкнутой системе будут проходить в 10 раз быстрее чем в объекте.
dt=0.01/max(abs(eig(A)))
t=0:dt:999;
[Ad,Bd]=c2d(A,B,dt);
dt=0.4500
Проверить найденную модель в дискретном времени следует с помощью расчета разгонных характеристик. Для этого следует использовать функцию dstep. Для вывода графиков следует использовать функции: subplot, plot, grid.
Ad =
Columns 1 through 8
0.9872 0 0 0 0 0 0 0
0 0.9965 0 0 0 0 0 0
0 0.0371 0.9814 0 0 0 0 0
0 0 0 0.9882 0 0 0 0
0 0 0 0.1892 0.9048 0 0 0
0 0 0 0 0 0.9959 0 0
0 0 0 0 0 0.0134 0.9933 0
0 0 0 0 0 0 0 0.9672
0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0
Columns 9 through 14
0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0
0.9954 0 0 0 0 0
0.0135 0.9933 0 0 0 0
0 0 0.9910 0 0 0
0 0 0.1439 0.9277 0 0
0 0 0 0 0.9976 0
0 0 0 0 0.0119 0.9940
Bd =
-0.5429 0
-0.2525 0
-0.0047 0
20.2483 0
1.9628 0
2.9803 0
0.0200 0
0 0.0326
0 0.0021
0 0.0000
0 -0.0618
0 -0.0045
0 -0.0123
0 -0.0001
Построим разгонные характеристики с помощью функций dstep, subplot, plot, grid.
Рисунок 4.Кривые разгона.
В результате анализа кривых разгона можно сделать вывод, что значения полученные на выходе каналов регулирования описанных инерционными звеньями 1-го порядка совпадают со значением коэффициента К инерционного звена, а на выходе каналов регулирования представленных интегрирующим звеном, кривые разгона направлены в отрицательную сторону, если имеют знак «-» в передаточной функции звена и наоборот. Если сравнить матрицу передаточных функций и полученные разгонные характеристики, видно, что Кр совпадают, можно сделать вывод: построение модели и преобразование выполнены верно.