С физической точки зрения производная — это скорость изменения переменной величины. Термин «скорость» настолько вошел в нашу жизнь, что мы порой не задумываемся над его смыслом и воспринимаем его только в связи с движением. На самом деле «скорость» характеризует зависимость изменения одной величины от изменения другой, поэтому в приложениях физики, химии, геометрии и др. производная имеет широкое практическое применение, что мы и видим в таблице.
υ(t) = s¢(t) | Скорость – производная по времени от перемещения |
a (t)=υ¢(t) | Ускорение – производная от скорости |
W (t)= φ¢(t) | Угловая скорость - производная от угла поворота |
I (t) = q¢(t) | Сила тока есть производная от заряда по времени |
N(t) = A¢(t) | Мощность есть производная работы по времени |
С(t) = Q¢(t) | Теплоёмкость есть производная теплоты по температуре |
Решение прикладных задач:
1) Тело, масса которого 5кг, движется прямолинейно по закону , где S- измеряется в метрах, а t в секундах. Найти кинетическую энергию тела через 10с после начала движения.
Решение:
Кинетическая энергия тела определяется по формуле
Находим скорость:
При t=10 с, получаем (м/с)
(Дж)
Ответ: 902,5 Дж.
2) Тело, масса которого 2 кг, движется прямолинейно по закону
, где s(t) – путь в (м). Найти силу, действующую на тело в момент времени t=3 секунды
Решение:
По второму закону Ньютона действующая на тело сила равна F=m·a
Находим ускорение
При t=3 c получаем: (м/с2)
F=2·22=44 (H)
Ответ: 44Н
3) Маховик за время t поворачивается на угол , где t – в секундах, φ - в радианах. Определить угловую скорость W в конце 3-й секунды.
Решение:
Находим угловую скорость
При t=3 получаем: (рад/с).
Ответ: (рад/с).
4) Количество электричества, протекающее через проводник, начиная с момента времени t=0 задается формулой . Найти силу тока в конце 3-й секунды.
Решение:
Сила тока есть производная от количества электричества по времени, поэтому находим:
Вычисляем ее значение при t=3 секунды: (А)
Ответ: 49 А
5) Количество теплоты Q, получаемое некоторым веществом при нагревании его от 0 до T, определяется по формуле , где Q – в джоулях, T – в кельвинах. Найти теплоемкость вещества при 100 К
Решение:
Теплоемкость C есть производная от количества теплоты по температуре, поэтому находим:
При T=100K, получаем:
(Дж/К)
Ответ: (Дж/К)
Задачи для самостоятельного решения:
1) Тело, масса которого 3 кг, движется прямолинейно по закону
, где s(t) – путь в (м). Найти силу, действующую на тело в момент времени t=4 секунды.
2) Тело, масса которого 10кг, движется прямолинейно по закону
, где S- измеряется в метрах, а t в секундах. Найти кинетическую энергию тела через 5с после начала движения.
3) Количество теплоты Q, получаемой некоторым веществом при нагревании его от 0 до T, определяется по формуле , где Q – в джоулях, T – в кельвинах. Найти теплоемкость вещества при 20 К
4) Количество электричества, протекающее через проводник, начиная с момента времени t=0 задается формулой . Найти силу тока в момент времени
5) Маховик, задерживаемый тормозом, за время t поворачивается на угол , где t– в секундах, φ - в радианах. Определить угловую скорость W в момент времени t =2 секунды.
6) Работа A, совершаемая телом за время t, задается уравнением , где А – в джоулях. Найти мгновенную мощность в момент времени t =3 секунды.