Неопределённый интеграл и его свойства. Основные методы интегрирования функций
Понятие неопределенного интеграла.
Напомним, что дифференцирование - это действие, с помощью которого по данной функции находится ее производная или дифференциал. Например, если F(x)=xb, то F'(х)=5х4, dF(x)=5x4dx.
Как мы знаем, нахождение производной имеет большое практическое значение. Так, по данному закону движения тела s=s(t) мы путем дифференцирования находили скорость v(t)=s'(t), а затем и ускорение a(t)=S’’(t)t по данному уравнению кривой y=f(x) определяли угловой коэффициент касательной, проведенной к этой кривой: k=f'(x).
На деле, однако, часто приходится решать обратную задачу: по известной скорости движения тела устанавливать закон его движения, по данному угловому коэффициенту касательной к кривой находить уравнение этой кривой и т.п., иначе говоря, по данной производной отыскивать функцию, от которой найдена эта производная, т.е. выполнять действие, обратное дифференцированию. Это действие называется интегрированием.
C помощью интегрирования по данной производной или дифференциалу функции находится сама функция. Например, (…)¢ = 3x2 (x3 + C)¢ = 3x2
Сразу разбираемся в обозначениях и терминах:
– значок интеграла.
– подынтегральная функция (пишется с буквой «ы»).
– значок дифференциала. При записи интеграла и в ходе решения важно не терять данный значок. Заметный недочет будет.
– подынтегральное выражение или «начинка» интеграла.
– первообразная функция.
– множество первообразных функций. Не нужно сильно загружаться терминами, самое важное, что в любом неопределенном интеграле к ответу приплюсовывается константа 
.
Дифференцируемая функция F(x), a<x<b называется первообразной для функции f(x) на интервале а< x<b, если F'(х)= f(x) для каждого а<х< b. Значит, достаточно найти для данной функции f(x) только одну первообразную функцию F(x), чтобы знать все первообразные, так как они отличаются друг от друга только на постоянную величину.
Для заданной функции ее первообразная определяется неоднозначно.
Справедлива теорема: если F(х) - первообразная для f(x) на некотором промежутке, то и функция F(x)=f(x)+С, где С - любая постоянная, также является первообразной для функции f(x) на этом промежутке. Обратно: каждая функция, являющаяся первообразной для f(x) в данном промежутке, может быть записана в виде F(x) + C.
Совокупность F(x)+C всех первообразных функций f(x) на интервале а<х<b называют неопределенным интегралом от функции f(x) на этом интервале и пишут òf (x)dx=F(x)+C. Здесь f(x)dx - подынтегральное выражение; f(x) - подынтегральная функция; х - переменная интегрирования; С - произвольная постоянная.
Если функция f(x) имеет на некотором промежутке хотя бы одну первообразную, то ее называют интегрируемой на этом промежутке. Можно доказать, что любая функция, непрерывная на отрезке а<х<b, интегрируема на этом отрезке.
Неопределённый интеграл геометрически представлен семеством всех интегральных кривых, как на рисунке ниже. Удалённость каждой кривой от начала координат определяется произвольной постоянной (константой) интегрирования C.
