Введем функцию Лейбензона

(11.18)

подобно тому, как это сделано в гл. 6; можно показать, что она удовлетворяет уравнению Лапласа

(11.19)

Вспоминая, что для установившейся фильтрации несжимаемой жидкости в среде с постоянной проницаемостью изменение давле­ния описывается уравнением Лапласа, можно провести аналогию между установившейся фильтрацией жидкости в недеформируемой пористой среде (см. гл.3) и установившейся фильтрацией жидкости и газа в деформируемой трещиноватой среде: все выведенные в гл.3 закономерности для несжимаемой жидкости можно использовать для описания течения в деформируемой породе, заменив дав­ление р на функцию Лейбензона P (при одинаковых граничных условиях и в пластах одинаковой геометрии).

Для одномерной фильтрации массовый дебит можно определить из дифференциального уравнения

(11.20)

Рассмотрим фильтрацию несжимаемой жидкости (r = const) с постоянной вязкостью (m = const). Найдем выражение функции Лейбензона для экспоненциальной зависимости проницаемости от давления (11.7):

(11.21)

и выведем формулы дебита и распределения давления для плоско­радиальной фильтрации жидкости в круговом пласте к скважине. Дебит определится по формуле Дюпюи (3.27), в которой давления p_K и p_C должны быть заменены значениями функции Лейбензона

(11.20)

При этом если принять, что , то

(11.23)

а объемный дебит выразится формулой

(11.24)

Индикаторная диаграмма, описываемая формулой (11.24), кри­волинейна (рис.80), причем для добывающих скважин она имеет выпуклость к оси дебитов, а для нагнетательных — к оси депрессий.

Рис. 80. Индикаторная линия для добывающей (1) и нагнетательной (2) скважин в деформируемом трещиноватом пласте

Подставляя в формулу (3.27) вместо давлений p, p_K и p_C выра­жения функции Лейбензона P по формуле (11.21), P_K и P_C по фор­мулам (11.22), будем иметь

Если , то

и распределение давления определяется формулой

(11.25)

На рис. 81 показаны кривые распределения давления, по­строенные по зависимостям (11.25) и (3.24) для недеформируемого пласта. Из сравнения кривых следует, что в деформируемом тре­щиноватом пласте за счет уменьшения раскрытия трещин при сни­жении пластового давления сопротивления увеличиваются и дав­ление падает более резко, чем в недеформируемом пласте.

Рис. 81. Кривые распределения давления:

1- в недеформируемом пласте

(k=const);

2 – в трещиноватом пласте.

Качественные особенности, характеризующие соотношения (11.24) и (11.25), имеют место также и для зависимостей проницае­мости от давления, выраженных формулами (11.6) и (11.8).

В трещиновато-пористом пласте дебит скважины складывается из дебита жидкости, притекающей из трещин, и из дебита жидко­сти, поступающей из пористых блоков. Например, в случае выпол­нения соотношения (11.7) формула суммарного дебита добывающей скважины принимает вид

, (11.26)

где принято, что . Однако обычно проницаемость пори­стых блоков k₂ много меньше, чем проницаемость трещин , поэ­тому основной вклад составляет приток жидкости из трещин и от­брасывание первого слагаемого не даст большой погрешности в оп­ределении дебита.

Рассмотрим установившуюся изотермическую фильтрацию иде­ального газа в чисто трещиноватом деформируемом пласте, в ко­тором зависимость коэффициента проницаемости от давления ли­нейная (11.8). Эта зависимость представляется естественной для газа, так как при фильтрации газа перепады давления обычно малы. В этом случае выражение для функции Лейбензона (11.18) можно записать в следующем виде (здесь принято ):

(11.27)

Массовый дебит газа при плоскорадиальной фильтрации в кру­говом пласте можно получить, подставив в формулу Дюпюи (3.27) выражения (11.27) при p=p_K и p=p_C:

(11.28)

Перейдем к объемному приведенному дебиту, по-иному предста­вив формулу (11.28):

(11.29)

Здесь выражение перед скобкой представляет собой дебит газа в недеформируемой среде, и можно оценить влияние параметра a на поток газа в круговом пласте.

Если обозначить через Q^* дебит газа в недеформируемой среде (т. е. при a =0), то отношение

(11.30)

определит отклонение деоита газа в сжимаемой среде от дебита газа в среде с постоянной проницаемостью. Если, например, a=2*10^-7 Па^-1, p_C = 7 МПа, p_K= =10МПа, то Q_AT=Q^* = 0,72, т. дебит уменьшается на 28 %.

Аналогичным методом можно вывести формулы для дебита и распределения давления для жидкости и газа при прямолинейно-параллельной фильтрации к галерее.