Решение. Задание 13. Досрочный ЕГЭ-2020
Условие задачи
а) Решите уравнение
.
б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку
Решение
а) .
Поделим на 
; получим:
б) Найдём корни на отрезке 
с помощью тригонометрической окружности.
Указанному отрезку принадлежат точки
;
;
Ответ:
а) 
б) 
Решение. Задание 14. Досрочный ЕГЭ-2020
Условие задачи
В правильной четырёхугольной пирамиде 
сторона основания 
равна 4, а боковое ребро 
равно 7. На рёбрах 
и 
отмечены точки 
и 
соответственно, причём 
. Плоскость 
содержит прямую 
и параллельна прямой 
.
а) Докажите, что плоскость параллельна прямой .
б) Найдите угол между плоскостями и 
.
Решение
Пусть - плоскость сечения.
;
Значит, 
, 
.
по углу и двум противоположным сторонам, значит 
.
Проведем 
в плоскости 
Тогда 
; 
, 
.
По теореме о прямой и параллельной ей плоскости, 
, сечение - трапеция 
Так как 
, 
- прямоугольник, 
, и 
по двум углам;
;
, тогда 
по углу и двум сторонам;
(соответственные), 
, значит, 
.
б) Заметим, что , 
, значит, 
по признаку параллельности плоскостей. Значит, угол между и 
равен углу между 
и .
Пусть 
; 
; по теореме о прямой и параллельной ей плоскости, 
.
Пусть 
- середина 
, 
- середина ;
и 
- апофемы граней 
и .
; 
, значит, 
;
аналогично, 
.
Угол между и - это угол между и ; 
.
Рассмотрим 
и найдём по теореме косинусов.
;
из 
;
в 
;
;
;
;
.
Ответ:
.
Решение. Задание 16. Досрочный ЕГЭ-2020
Условие задачи
В треугольнике угол 
равен 
. Прямые, содержащие высоты 
и 
треугольника , пересекаются в точке . Точка 
– центр окружности, описанной около треугольника .
а) Докажите, что 
.
б) Найдите площадь треугольника 
, если 
, 
.
Решение
а) 
По теореме синусов для 
:
по углу и двум сторонам.
Это легко доказать:
по двум углам;
, отсюда 
,
, причём 
.
Значит, 
,
Рассмотрим четырёхугольник 
;
, значит, можно вписать в окружность, 
- диаметр этой окружности.
По теореме синусов для 
:
,
отсюда 
.
Мы получили:
;
;
, тогда
.
б) 
Найдём 
, если ,
Пусть 
- серединный перпендикуляр к .
- серединный перпендикуляр и 
;
;
Из пункта (а): 
Пусть 
- середина , 
- середина .
Найдём 
.
можно вписать в окружность (смотри п. (а)),
(опирается на дугу 
),
, 
.
(смежный с 
)
(так как четырёхугольник 
можно вписать в окружность),
.
Значит, 
;
Ответ: 1,25
Решение. Задание 17. Досрочный ЕГЭ-2020
Условие задачи
В июле планируется взять кредит в банке на сумму 5 млн рублей на некоторый срок (целое число лет). Условия его возврата таковы:
— каждый январь долг возрастает на 20% по сравнению с концом предыдущего года:
— с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга:
— в июле каждого года долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на июль предыдущего года.
На сколько лет планируется взять кредит, если известно, что общая сумма выплат после его полного погашения составит 7.5 млн рублей?
Решение
S = 5 млн руб
n лет;
p = 20%;
B = 7,5 млн. руб
По формуле для величины переплаты по кредиту:
П = 
.
Здесь П - переплата, П = В - S;
П = 7,5 - 5 = 2,5 млн. руб.
;
;
;
Выведем формулу для величины переплаты. Пусть n - количество платёжных периодов, p - процент банка, S - сумма кредита,
.
Схема погашения кредита при равномерном уменьшении суммы долга:
Запишем, чему равны выплаты:
1 выплата: 
2 выплата: 
...
n-ая выплата: 
Сумма всех выплат
;
(воспользовались формулой суммы арифметической прогрессии),
,
так как , получим:
П, где П= .
Ответ: 4