Задача о вычислении площади криволинейной трапеции. Определенный интеграл как предел интегральной суммы. Формула Ньютона – Лейбница. Свойства определенного интеграла. Вычисление определенного интеграла методом замены переменной и по частям. Понятие о несобственных интегралах с бесконечными пределами интегрирования. Вычисление площадей плоских фигур. Приближенное вычисление определенного интеграла по формуле трапеций.
Студенту необходимо рассмотреть задачу о площади криволинейной трапеции и разобраться в том, что площадь криволинейной трапеции есть предел площади S под ломанной при неограниченном приближении ломанной к заданной кривой.
Необходимо разобраться с понятием интегральной суммы, ее геометрическим смыслом и перейти к понятию определенного интеграла
Студент должен знать, что в отличие от неопределенного интеграла, который является семейством кривых, определенный интеграл является числом и определенный интеграл вычисляется формулой Ньютона-Лейбница.
,
Благодаря этой формуле, интеграл вычисляется путем нахождения приращения первообразной для данной функции на отрезке интегрирования.
Достаточное условие интегрируемости функции на отрезке – непрерывность подынтегральной функции на этом отрезке.
Студент должен разобраться в методах интегрирования, изучив для этого свойства определенного интеграла и теорему о среднем.
Метод интегрирования по частям позволяет расширить класс интегрируемых функций за пределы табличных интегралов. При этом необходимо использовать приемы интегрирования по частям для неопределенного интеграла.
Метод подстановки также расширяет класс интегрируемых функций. При этом нужно помнить, что при введении новой переменной изменяются пределы интегрирования. После их изменения можно рассчитать определенный интеграл, не возвращаясь к старой переменной.
Несобственный интеграл вычисляется как интеграл с одним или с двумя неограниченными пределами. Подынтегральная функция определена и непрерывна на одном из промежутков [a;+¥), (-¥;b], [-¥;+¥].
Если несобственный интеграл сходится, то он имеет конечный предел, если не сходится, то предел его равен бесконечности или не существует.
Для вычисления площадей плоских фигур необходимо уметь определять пределы интегрирования, если они не заданы и если площадь фигуры представляется в виде сумм или разностей криволинейных трапеций. Поэтому нужно построить кривые, ограничивающие плоские фигуры, определяют граничные условия (пределы интегрирования).
При выполнении контрольной работы необходимо придерживаться
следующих правил:
1. Студент обязан делать контрольную работу только своего варианта в
сроки, предусмотренные графиком.
2. Номер варианта определяется по следующей схеме: он соответствует начальной букве фамилии студента.
Таблица соотношения начальной буквы фамилии студента и варианта контрольных заданий
| Начальная буква фамилии | Вариант задания |
| А, Е, Л | Первый |
| Р, Х, Э | Второй |
| Б, Ж, М | Третий |
| С, Ц, Ю | Четвертый |
| В, З, Н | Пятый |
| Т, Ч | Шестой |
| Г, И, О | Седьмой |
| П, У, Ш | Восьмой |
| Д, Щ, | Девятый |
| Ф, К, Я | Десятый |
3. Контрольную работу следует выполнять аккуратно в ученической тетради чернилами любого цвета, кроме красного, оставляя поля (3 – 4 см) для замечаний рецензента. Рекомендуется в конце тетради указать список используемой литературы и оставить несколько чистых листов для исправлений и дополнений в соответствии с указаниями рецензента.
4. На обложке тетради студент должен указать свою фамилию, имя, отчество, также название работы, номер варианта, форму обучения, специальность, курс, номер группы, домашний адрес и дату отправки.
5. Перед решением задачи нужно полностью выписать ее условие. Если несколько задач имеют общую формулировку, переписывать следует только условие задачи нужного варианта. Решение каждой задачи следует сопровождать подробными ссылками на соответствующие формулы, теоремы и правила. Вычисления должны быть доведены до конечного числового результата. Ответы и выводы, полученные при решении задач, следует подчеркнуть.
6. После получения отрецензированной работы студенту необходимо
исправить все отмеченные ошибки и недочеты.
7. Если работа возвращена на доработку, то следует переделать те задачи, на которые указывает рецензент, а при отсутствии такого указания контрольная работа должна быть выполнена заново. Переделанная работа высылается на повторное рецензирование обязательно с незачтенной ранее работой и рецензией к ней. При этом на обложке следует указать фамилию рецензента.
8. Работы, выполненные без соблюдения этих правил, к зачету не принимаются и возвращаются без рецензирования для переработки.
9. На экзамен допускаются студенты, контрольная работа которых является зачтенной.