Для множителя наращения, следовательно, имеем

МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫСОВЕРШЕНИЯ ФИНАНСОВЫХ ОПЕРАЦИЙ

 

Основные понятия и определения

Основой большинства финансовых расчетов являются процентные деньги или проценты. С экономической точки зрения «процент» представляет собой плату за использование денежных средств одного лица (кредитора) другим лицом (заемщиком, дебитором), выраженную в сотых долях от исходной суммы.

Проценты – это доход от предоставления капитала в долг в различных формах (ссуды, кредиты и т. д.), либо от инвестиций производственного или финансового характера.

Процентная ставка (r) — это величина, характеризующая интен­сивность начисления процентов.

Величина получаемого дохода (т. е. процентов) определяется исходя из величины вкладываемого капитала, срока, на который он предоставляется в долг или инвестируется, размера и вида процентной ставки (ставки доходности).

Наращение (рост) первоначальной суммы долга — это увеличе­ние суммы долга за счет присоединения начисленных процентов (дохода).

Множитель (коэффициент) наращения (k_н) — это величина, пока­зывающая, во сколько раз вырос первоначальный капитал.

Период начисления - это промежуток времени, за который на­числяются проценты (получается доход). В дальнейшем будем полагать, что период начисления совпадает со сроком, на кото­рый предоставляются деньги. Период начисления может разби­ваться на интервалы начисления.

Интервал начисления — это минимальный период, по прошест­вии которого происходит начисление процентов.

Существуют два способа оп­ределения и начисления процентов.

1. Декурсивный способ начисления процентов. Проценты начисля­ются в конце каждого интервала начисления. Их величина опре­деляется исходя из величины предоставляемого капитала. Декурсивная процентная ставка (ссудный процент) представляет собой выраженное в процентах отношение суммы начисленного за определенный интервал дохода к сумме, имеющейся на начало данного интервала (Р). В мировой практике декурсивный способ начисления про­центов получил наибольшее распространение

2. Антисипативный способ (предварительный) начисления процен­тов. Проценты начисляются в начале каждого интервала начис­ления. Сумма процентных денег определяется исходя из нара­щенной суммы. Антисипативная ставка (учетная ставка) представляет собой выраженное в про­центах отношение суммы дохода, выплачиваемого за определенный интервал, к величине наращенной суммы, полученной по прошест­вии этого интервала (F). В странах развитой рыночной экономики антисипативный метод начисления процен­тов применялся, как правило, в периоды высокой инфляции.

Учетная ставка - ставка процента, под который федеральная резервная система, центральный банк предоставляет кредиты коммерческим банкам для пополнения их денежных резервов и кредитования клиентов. Чем выше учетная ставка ЦБ, тем более высокий процент взимают банки за предоставляемый ими кредит, и наоборот.

Концепция стоимости денег во времени играет основополагающую роль в практике финансовых вычислений. Она предопределяет необходимость учета фактора времени в процессе осуществления любых долгосрочных финансовых операций путем оценки и сравнения стоимости денег при начале финансирования со стоимостью денег при их возврате в виде будущей прибыли.

В процессе сравнения стоимости денежных средств при их инвестировании и возврате принято использовать два основных понятия - будущая стоимость денег и их настоящая стоимость.

Будущая стоимость денег (FV) - сумма инвестированных в настоящий момент средств, в которую они превратятся через определенный период времени с учетом определенной ставки процента. Определение будущей стоимости денег связано с процессом наращения этой стоимости.

Наращение стоимости денег (компаундинг) – процесс приведения настоящей стоимости денег к их будущей стоимости присоединения к их первоначальной сумме начисленной суммы процентов (процентных платежей). Эта сумма рассчитывается по процентной ставке. В инвестиционных расчетах ставка применяется не только как инструмент наращения стоимости денежных средств, но и как измеритель степени доходности инвестиционных операций.

Настоящая стоимость денег (РV) - сумма будущих денежных поступлений, приведенных с учетом определенной ставки процента (так называемой "дисконтной ставки") к настоящему периоду. Определение настоящей стоимости денег связано с процессом дисконтирования этой стоимости.

Дисконтирование стоимости денег – процесс приведения будущей стоимости денег к их настоящей стоимости путем изъятия из их будущей суммы соответствующей суммы процентов («дисконта»). В этом случае сумма процента (дисконта) вычитается из конечной суммы (будущей стоимости) денежных средств.

Такая ситуация возникает в тех случаях, когда необходимо определить, сколько средств необходимо инвестировать сегодня для того, чтобы через определенный период получить заранее обусловленную их сумму.

При проведении финансово-экономических расчетов, связанных с инвестированием средств, процессы наращения и дисконтирования стоимости могут осуществляться как по простым, так и по сложным процентам.

Простым процентом называется сумма, которая начисляется при первоначальной (настоящей) стоимости вклада в конце одного периода платежа.

Сложным процентом называется сумма дохода, которая образуется в результате инвестирования при условии, что сумма начисленного простого процента не выплачивается после каждого периода, а присоединяется к сумме основного вклада и в последующем платежном периоде сама приносит доход.

2. Простые ставки ссудных процентов

Простые ставки ссудных (декурсивных) процентов применя­ются обычно в краткосрочных финансовых операциях, когда ин­тервал начисления совпадает с периодом начисления (и составля­ет, как правило, срок менее одного года), или когда после каждо­го интервала начисления кредитору выплачиваются проценты. Простые ставки ссудных процентов также могут приме­няться и в любых других случаях по договоренности участвующих в операции сторон.

Будущая стоимость денежных средств определяется по формуле:

(1)

 

На практике часто возникает обратная задача: узнать величину суммы Р, которая в будущем должна составить заданную величину F.

Из формулы (1) получаем формулу, соответствующую опера­ции дисконтирования:

(2)

При N интервалах начисления наращенная сумма составит

(3)

Для множителя наращения, следовательно, имеем

(4)

Пример 1

Ссуда в размере 50 000 руб. выдана на полгода по простой став­ке процентов 28% годовых. Определить наращенную сумму.

Решение

F= 50 000 (1 + 0,5.0,28) = 57 000 (руб.).

Пример 2

Кредит в размере 20 000 000 руб. выдается на 3,5 года. Ставка процентов за первый год — 30%, а за каждое последующее полу­годие она уменьшается на 1%. Определить множитель наращения и наращенную сумму.

Решение

k_н = 1 + 0,3 + 0,5 (0,29 + 0,28 + 0,27 + 0.26 + 0,25) = 1,975.

F=20 000 000 * 1,975 = 39 500 000 (руб.).

Пример 3

Определить период начисления, за который первоначальный капитал в размере 25 000 000 руб. вырастет до 40 000 000 руб., если используется простая ставка процентов 28% годовых.

Решение

n = (40 000 000 - 25 000 000)/(25 000 000.0,28) = 2,14 года.

Пример 4

Определить простую ставку процентов, при которой первона­чальный капитал в размере 24 000 000 руб. достигнет 30 000 000 руб. через год.

Решение

r = (30 000 000 - 24 000 000)/(24 000 000 *1) = 0,25 = 25%.

Пример 5

Кредит выдается под простую ставку 26% годовых на 250 дней. Рассчитать сумму, получаемую заемщиком, и сумму процентных денег, если требуется возвратить 40 000 000 руб.

Решение

По формуле (9) (операция дисконтирования) имеем

Р = 40 000 000 / (1 + 250/365 * 0,26) = 33 955 857 (руб)

Из формулы (4) получаем

I = 40 000 000 - 33 955 857 = 6 044 143 (руб.).

3. Простые учетные ставки

При антисипативном способе начисления процентов сумма получаемого дохода рассчитывается исходя из суммы, получаемой по прошествии интервала начисления (т.е. из наращенной суммы). Эта сумма и считается величиной получаемого кредита (или ссуды). Так как в данном случае проценты начисляются в начале каждого интервала начисления, заемщик, естественно, получает эту сумму за вычетом процентных денег.

Такая операция называется дисконтированием по учетной ставке, а также ком­мерческим или банковским учетом.

Дисконт — это доход, полученный по учетной ставке, т. е. раз­ница между размером кредита и непосредственно выдаваемой суммой.

Введем новые обозначения:

d(%) — простая годовая учетная ставка;

d — относительная величина учетной ставки;

D_г — сумма процентных денег, выплачиваемая за год;

D — общая сумма процентных денег

Тогда, согласно определениям, имеем следующие формулы:

Будущая стоимость денежных средств определяется по формуле:

(5)

(6)

Операция дисконтирования выражается формулой:

 

(7)

Из приведенных формул можно вывести еще две формулы для определения периода начисления и учетной ставки при прочих заданных условиях:

(8)

(9)

Пример 6

Кредит выдается на полгода по простой учетной ставке 20%. Рассчитать сумму, получаемую заемщиком, и величину дисконта, если требуется возвратить 30 000 000 руб.

Решение

Р = 30 000 000 (1 - 0,5 • 0,2) = 27 000 000 (руб.).

Далее D = F - Р = 30 000 000 - 27 000 000 = 3 000 000 (руб.).

Пример 7

Кредит в размере 40 000 000 руб. выдается по простой учетной ставке 25% годовых. Определить срок, на который предоставляет­ся кредит, если заемщик желает получить 35 000 000 руб.

Решение

n = (40 000 000 - 35 000 000)/(40 000 000 • 0,25) = 0,5 года.

 

Пример 8

Рассчитать учетную ставку, которая обеспечивает получение 9 000 000 руб., если сумма в 10 000 000 руб. выдается в ссуду на полгода.

Решение

d = (10 000 000 - 9 000 000)/(10 000 000 • 0,5) = 0,2 = 20%.

4. Сложные ставки ссудных процентов

Если после очередного интервала начисления доход (т. е. на­численные за данный интервал проценты) не выплачивается, а присоединяется к денежной сумме, имеющейся на начало этого интервала, для определения наращенной суммы применяют фор­мулы сложных процентов. Сложные ссудные проценты в настоя­щее время являются весьма распространенным видом применяе­мых в различных финансовых операциях процентных ставок.

Если за интервал начисления принимается год, то по про­шествии первого года наращенная сумма, в соответствии с фор­мулой (1), составит

где r - относительная величина годовой ставки сложных ссудных процентов.

Еще через год это выражение применяется уже к сумме F ₁.

и так далее. Очевидно, что по прошествии n лет наращенная сум­ма составит

(10)

Если на последовательных интервалах на­числения n₁, n₂,..., n_N используются различные ставки процентов, то будущая стоимость денег составит

где N – число интервалов начисления.

При т равных интервалах начисления формула для определения наращенной суммы примет вид:

где mn — общее число интервалов начисления за весь срок ссуды.

Ставка сложного процента будет определяться по формуле